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양상 논리
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둘러보기로 가기검색하러 가기논리학에서, 양상 논리(樣相論理, 영어: modal logic)는 논리 체계의 일종으로, 

명제의 필연성·가능성·불가능성과 같은 양상(modality)을 서술할 수 있는 논리이다. 


예컨대 진리 양상 논리에서 기호 □는 명제가 반드시 참임(필연성)을, ◇는 명제가 참일 수 있음(가능성)을 나타낸다.




목차

1정의1.1통사론
1.2공리계

2의미론
3자연언어
4같이 보기
5참고 문헌
6외부 링크





정의[■편집]
통사론[■편집]

양상 논리는 일반 명제 논리의 기호 (${\displaystyle \land }$, ${\displaystyle \lor }$, ${\displaystyle \lnot }$, ${\displaystyle \implies }$ 등) 이외에도 다음과 같은 두 기호를 갖는다.

${\displaystyle \Box }$

${\displaystyle \Diamond }$

이들 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

${\displaystyle \lnot \Box \lnot =\Diamond }$

${\displaystyle \lnot \Diamond \lnot =\Box }$

양상 논리는 일반 명제 논리의 기호 ★★ ({\displaystyle \land }, {\displaystyle \lor }, {\displaystyle \lnot }, {\displaystyle \implies } 등) 이외에도 다음과 같은 두 기호를 갖는다.
{\displaystyle \Box }
{\displaystyle \Diamond }
이들 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.


{\displaystyle \lnot \Box \lnot =\Diamond }{\displaystyle \lnot \Diamond \lnot =\Box }이 두 기호는 여러 가지로 해석할 수 있으나, 일반적인 진리 양상 논리(alethic logic)에서는 다음과 같이 해석한다.
{\displaystyle \Box P}: 명제 {\displaystyle P}는 필연적으로 참이다. 즉, {\displaystyle P}는 모든 가능한 세계에서 참이다.
{\displaystyle \Diamond P}: 명제 {\displaystyle P}는 개연적으로 참이다. 즉, {\displaystyle P}가 참인 세계가 존재한다.
이 밖에도, 다르게 해석할 수도 있다. 예를 들어, {\displaystyle \Box P}를 다음과 같이 해석할 수 있다.
증명가능성 논리(영어: provability logic){\displaystyle \Box P}: 명제 {\displaystyle P}는 증명할 수 있다.
{\displaystyle \Diamond P}: 명제 {\displaystyle P}는 반증할 수 없다.

인식론적 논리 (영어: epistemic logic):{\displaystyle \Box P}: 명제 {\displaystyle P}가 참인 것을 안다.
{\displaystyle \Diamond P}: 명제 {\displaystyle P}가 거짓인 것을 알지 못한다.

의무론적 논리 (영어: deontological logic):{\displaystyle \Box P}: 명제 {\displaystyle P}를 만족시킬 의무가 있다.
{\displaystyle \Diamond P}: 명제 {\displaystyle P}를 만족시키는 것이 허용된다.





공리계[■편집]
양상 논리는 명제 논리의 공리 및 전건 긍정의 형식을 가진다. 이 밖에도, 양상 논리 고유의 다음과 같은 공리들이 있다. 우선, 가장 기본적인 양상 논리 K는 명제 논리에 다음과 같은 두 공리를 추가하여 얻는다.
{\displaystyle P\vdash \Box P}{\displaystyle \Box (P\implies Q)\implies (\Box P\implies \Box Q)}이 밖에도, 다음과 같은 공리들을 생각할 수 있다.
(T공리) {\displaystyle \Box P\implies P}간혹 M공리로 불리기도 함(4번 공리) {\displaystyle \Box P\implies \Box \Box P}(5번 공리) {\displaystyle \Diamond P\implies \Box \Diamond P}(B공리) {\displaystyle P\implies \Box \Diamond P}브라우어르(Brouwer)의 성씨의 머릿글자.(D공리) {\displaystyle \Box P\implies \Diamond P}주로 의무론적 논리에서 쓰임. 영어 deontology(의무론)의 머릿글자.(GL공리) {\displaystyle \Box (\Box P\implies P)\implies \Box P}간혹 L공리로 불리기도 함. 괴델-뢰브(Gödel–Löb)의 약자.K에 이 공리들 가운데 일부를 추가하면 다음과 같은 양상 논리들을 얻는다.
T = K + T공리K4 = K + 4번 공리S4 = K + T공리 + 4번 공리S5 = K + T공리 + 5번 공리 = S4 + 5번 공리 = S4 + B공리D = K + D공리D45 = K + D공리 + 4번 공리 + 5번 공리GL = K + GL공리다음을 보일 수 있다. 여기서는 모두 적어도 K를 가정한다.
GL ⊢ 4, ¬TS5 ⊢ 4, DS4 + D ⊢ 5즉, S4 + D = S5이다.



의미론[■편집]
양상 논리에서 가장 많이 쓰이는 의미론은 크립키 모형(영어: Kripke model)로, 이를 통해 각종 양상 논리들의 모형을 정의할 수 있다. 크립키 의미론은 존재할 수 있는 세계인 '가능세계'를 가정하는 가능세계론에 근거한다.
일반적인 양상 논리 의미론에서는 순서쌍 {\displaystyle \langle G,R\rangle }이 정의된다. 우선 구조로서 정의되는 G는 가능세계(possible worlds)들의 (비공)집합이며, 접근가능성 관계(accessibility relation)라 불리는 관계 R은 가능세계들 간의 이항관계이다. 예를 들어, w R u는 세계 u가 세계 w로부터 접근가능함을 뜻한다. 또한 현실세계(the actual world)도 정의할 수 있는데, 이는 G 속의 한 불변항 {\displaystyle w*}로 나타내어진다.
이제 가능 세계들과 양의 문자들(positive literals) 간의 관계 v를 정의하는데, 이는 위의 구조를 모형으로 확장시키기 위하여 G 속의 각 세계에 있어서 모든 명제들의 진리값을 특정하는 과정이다. 만약 {\displaystyle v(w,P)}인 세계 w가 존재한다면, P는 w에 있어서 참이다. 이에 따라 모형은 {\displaystyle \langle G,R,v\rangle }가 된다.
이제 모형 안에서 세계 속의 논리식의 참을 재귀적으로 정의한다(iff는 필요충분조건):
{\displaystyle v(w,P)} 이면 {\displaystyle w\models P} 이다
{\displaystyle w\models \neg P} iff {\displaystyle w\not \models P}
{\displaystyle w\models (P\wedge Q)} iff {\displaystyle w\models P} and {\displaystyle w\models Q}
{\displaystyle w\models \Box P} iff G의 모든 원소 u에 대하여 w R u 이면 {\displaystyle u\models P} 일 때
{\displaystyle w\models \Diamond P} iff G 일부 원소 u에 대하여 w R u이며 {\displaystyle u\models P} 일 때
{\displaystyle \models P} iff {\displaystyle w*\models P}
그러니 이러한 양상논리 의미론에서, 명제의 참 여부는 어떠한 가능세계 w 안에서만 결정될 수 있는 상대적 특성을 가진다. w에 접근가능한 모든 세계에 있어서 참이면 가능세계 w에서 필연적으로 참이고, w에 접근가능한 일부 세계에 있어서 참이면 가능세계 w에서 참임이 가능하다는 것이다.
양상 논리의 체계들은 거기에 대응되는 접근가능성 관계의 특성에 의하여 구별된다. 어떠한 접근가능성 관계가:
반사적(reflexive)이라 함은, G에 속하는 모든 w에 대하여 wRw 이라는 것이다.
대칭적(symmetric)이라 함은, G에 속하는 모든 w, u에 대하여 wRu 이면 uRw 이라는 것이다.
추이적(transitive)이라 함은, G에 속하는 모든 w,u,q에 대하여 wRu 이고 uRq 이면 wRq 이라는 것이다.
연속적(serial)이라 함은, G에 속하는 각 w에 대하여 wRu 인 (G에 속하는) 어떤 u가 존재한다는 것이다.
유클리드적(Euclidean)이라 함은, 모든 u,t,w에 대하여 wRu 이고 wRt 이면 uRt 이라는 것이다. 유클리드의 원론의 공리 1에 대응되기에 이러한 이름이 붙었으며, 대칭성과 추이성으로부터 도출될 수 있다.
이러한 조건들에 의하여 양상 공리 체계들을 설명하면:
K := 조건 없음
D := 연속적
T := 반사적
B := 반사적, 대칭적
S4 := 반사적, 추이적
S5 := 반사적, 유클리드적

S4의 경우, 위상 공간으로서 의미론을 정의할 수 있다. 이 경우, 대응성은 다음과 같다.

S4 양상 논리	위상수학
명제 {\displaystyle \phi ,\chi }	위상 공간의 부분집합 {\displaystyle S,T\subset X}
논리합 {\displaystyle \phi \lor \chi }	합집합 {\displaystyle S\cup T}
논리곱 {\displaystyle \phi \land \chi }	교집합 {\displaystyle S\cap T}
함의 {\displaystyle \phi \to \chi }	{\displaystyle (X\setminus S)\cup T}
부정 {\displaystyle \lnot \phi }	{\displaystyle X\setminus S}
{\displaystyle \Box \phi }	내부 {\displaystyle \operatorname {int} (S)}
{\displaystyle \Diamond \phi }	폐포 {\displaystyle \operatorname {cl} (S)}

이 경우, S4의 공리들은 내부와 폐포의 성질로 해석할 수 있다.




자연언어[■편집]
비표준논리학이기도한 양상논리학, 시제 논리학 및 의무논리학은 함께 고전 논리학이 다루지 못하는 자연언어의 영역들을 확장하여 다룰수있도록 한다는데에 또다른 주요한 의미가 있다. 논리가 인간의 고유한 사유영역에서 부터 출발했다는 의미에서 다시금 인간의 내면을 향한 탐구가 가능하다는 점에서 고전논리학을 지원하며 이와 함께한다고 할수있다. 그러나 이와는 다른방향으로 향해가고있는것처럼 보여지는 양자논리학이나 퍼지논리학같은 비표준논리학도 논리학의 가능성을 확장하고있다는점에서 그 맥락은 같다고 할수있다.




같이 보기[■편집]
1차 논리
인식 논리




참고 문헌[■편집]

여훈근 (2000년 6월 17일). 《논리철학》. 인문사회과학총서 40. 고려대학교 출판부. ISBN 89-7641-409-8. 2016년 5월 28일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2020년 1월 20일에 확인함.
김우진 (2012). 《양상논리와 형이상학》 2판. 새들녘. ISBN 978-899624152-2.
신승철 (2004년 2월). “양상 논리의 이해” (PDF). 《프로그래밍언어논문지》 18 (1): R01. ISSN 1975-5961.[깨진 링크(과거 내용 찾기)]
Blackburn, Patrick; Maarten de Rijke, Yde Venema (2001년 7월). 《Modal logic》. Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science (영어) 53. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781107050884. ISBN 978-052180200-0. Zbl 0988.03006.
Chagrov, Aleksandr; Michael Zakharyaschev (1997). 《Modal logic》 (영어). Oxford University Press. ISBN 0-19-853779-4.
Chellas, B. F. (1980). 《Modal logic: an introduction》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-22476-4.
Fitting, Melvin; R. L. Mendelsohn (1998). 《First Order Modal Logic》 (영어). Kluwer. ISBN 0-7923-5335-8.
Garson, James W. (2013). 《Modal logic for philosophers》 (영어) 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139342117. ISBN 978-110702955-2.
Girle, Rod (2000). 《Modal logics and philosophy》 (영어). Acumen. ISBN 0-7735-2139-9.
Hughes, G. E.; M. J. Cresswell (1996). 《A new introduction to modal logic》 (영어). Routledge. ISBN 0-415-12599-5.
Snyder, D. Paul "Modal Logic and its applications", Van Nostrand Reinhold Company, 1971
Kracht, Marcus (1999) Tools and Techniques in Modal Logic, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics No. 142. North Holland.




외부 링크[■편집]
“Modal logic”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Garson, James (2014년 5월 27일). “Modal logic”. 《Stanford Encyclopedia of Philosophy》 (영어).
Ballarin, Roberta (2010년 11월 16일). “Modern origins of modal logic”. 《Stanford Encyclopedia of Philosophy》 (영어). 2014년 10월 20일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 15일에 확인함.
Verbrugge, Rineke (2010년 11월 9일). “Provability logic”. 《Stanford Encyclopedia of Philosophy》 (영어).
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논리학(論理學, 문화어: 론리학, logic)은 '논리' 및 그것과 관련된 구성과 원리들을 분석하고 체계화하는 학문이다. 타당한 논증, 곧 추론과 증명의 법칙을 연구하는 학문으로, 일반적으로는 논증의 학문이라고 정의된다. 판단·추리·개념 등과 관련하여 올바른 명제를 전제로 하는 '타당한 추론(推論)의 형식'(valid rules of inference)에 관한 인문 과학이라고도 한다. 흔히 철학의 한 분과로 분류되나,[1][2] 형식적 논리학은 수학기초론과 깊이 연관되어 있다. 한편 라이프니츠는 '모든 과학들이 공리들을 규명할 때 그러한 사용에서 그리고 그러한 원칙에서의 논리학의 당위적인 역할'이라는 맥락의 서술을 한 바 있다.[3][4]
목차

1어원
2비형식 논리학
3형식 논리학3.1역사

4오류론
5올바른 추론의 형식
6명제론
7명사
8논리학자
9현대 논리학
10같이 보기
11각주
12외부 링크

어원[■편집]
논리학은 영어의 'Logic', 독일어의 'Logik', 프랑스어의 'Logique'에 해당되는 말이며, 이들은 모두 그리스어의 Logos에서 유래된 말들이다. Logos는 Legein(센다, 모은다, 배열한다, 말한다)이라는 동사에서 전환된 명사로서, 말, 생각, 사유, 사고, 논리라는 뜻 이외에도 개념, 판단, 정의(定義), 이유, 이성, 진리, 사상, 법칙, 이론, 학문 등의 뜻을 지닌다.
비형식 논리학[■편집]
형식 체계를 중심에 두지 않는 논리학을 흔히 비형식 논리학으로 부르는데, 여기서는 추리 형식의 타당성뿐만 아니라 판단이나 개념의 내용이 진리인 것 같은 인식을 얻기 위한 사고의 경로나 그 형태를 연구한다. 예로부터 뛰어난 철학자들은 자기의 철학적 인식을 올바른 것으로 하기 위해, 아리스토텔레스의 연역적 논리학 대신 모두 제각기의 입장에서 특징있는 인식론적 논리학을 설정했다. 베이컨의 귀납적 논리학, 칸트의 선험적 논리학, 헤겔이나 마르크스의 변증법적 논리학, 듀이의 실험적 논리학 등이 그 대표적
사리에 맞는 합리적인 사고로 그 내용을 올바르게 타인에게 전달하기 위해 반드시 그래야 하는 사고의 규범을 연구대상으로 삼는데, 심리학도 사고 과정을 연구하는 학문이나 심리학이 사고를 하는 원인에 초점을 두는 것이고 논리학이 사고 과정 자체를 연구한다는 점에서 둘은 구별된다.
형식 논리학[■편집]
형식 논리학은 개개의 판단이나 개념의 내용에 상관없이 추리의 형식상 타당성만을 문제로 삼는다. 형식논리학은 아리스토텔레스로 대표되는 고전논리학이 있으며 현대의 형식논리학은 흔히 수리논리학(기호논리학)을 가리키는 말로 쓰이며, 현대 수학의 근간을 이루는 수학기초론을 구성하기도 한다.
역사[■편집]
논리학의 역사 문서를 참고하십시오.
고전적인 형식논리학의 토대를 세운 것은 기원전 4세기의 아리스토텔레스로, 그의 오르가논에서는 올바른 추론 및 증명을 논하는 '논증'의 토대가 제시되었고, 이는 수천년 간 서양 철학 발전의 근본을 이루게 된다. 이후 중세에는 오컴, 아벨라르, 라이프니츠 등의 학자들이 이를 바탕으로 논리학에 대한 다양한 업적을 남겼다.
이후 근대에는, 고틀로프 프레게가 그의 저술 《개념 표기법》에서 논리학적 기호와 체계화된 술어 논리를 고안하였고, 주세페 페아노는 집합론을 발전시키고 페아노 공리계를 고안하여 수학의 논리적 기초를 세웠다. 20세기 초는 그 시기를 기준으로 이전을 고전논리학, 그 이후를 현대논리학으로 구분될 정도로 중요한 변혁이 발생한 시기로, 특히 게오르크 칸토어의 집합론적 연구로부터 영감을 받아 버트런드 러셀과 알프레드 노스 화이트헤드가 공동으로 저술한 《수학 원리》(라틴어: Principia Mathematica 프린키피아 마테마티카[*], 1910-1913)가 출간되었는데, 이 저서는 현대 수학기초론이 성립하는 데 막대한 영향을 끼쳤고. 또한 러셀의 역설이나 칸토어의 역설은 사실로 믿어져온 고전 논리학 및 집합론에 명백한 오류가 있음을 지적하였고, 확실한 수학적 공리의 필요성이 호소되기 시작했다.
그러나 쿠르트 괴델이 1930년 10월 '참이지만 증명할 수 없는 산술적 명제가 존재한다'는 불완전성 정리를 발표하면서 페아노 공리의 '완벽성'이 흔들리게 되었고, 논리학도 전환기를 맞이하게 되었다.[5][6]
현대에는 체르멜로-프렝켈 공리에 선택공리가 추가된 ZFC 공리계의 9가지 공리가 일반 수학기초론을 이루고 있으며, 많은 공리들이 이와 무모순적(독립적)임이 증명되어 있다. 또한 공리를 비교적 자유롭게 다룸으로써 다양한 대상들을 다룰 수 있도록 하는 직관논리, 양상 논리 등 새로운 수리논리학적 체계들이 등장하였다.
오류론[■편집]
이 부분의 본문은 오류론입니다.
오류론은 논리학의 응용기술이라고 할 수 있으며 즉 오류론은 논리학의 소극적 측면으로써 잘못된 추론으로부터 올바른 추론을 구별할 수 있도록 경고하는 기능을 한다. 이러한 오류론에 있어서 형식적 오류나 비형식적 오류에 대한 인식 가능성은 올바른 추론을 위한 비판적 능력을 크게 향상시킬 수 있다. 한편 비형식적 오류에는 언어적 오류, 심리적 오류, 자료적 오류 및 귀납법적 오류가 있다.
올바른 추론의 형식[■편집]
한편 올바른 추론의 절차에서 '올바르다'는 의미는 연역적 추론에서는 '타당성'이 성립한 경우를 그리고 귀납 논리학에서는 '귀납적으로 강한' 추론을 가리킨다. 특히 '귀납적으로 강하다'는 의미는 '전제를 제시하고 그 전제로부터 나오는 결론이 성립되는 확률이 1'에 가까워지는 추론을 말한다. 또한 타당한 추론은 논리적으로 전제들이 제시되면 그 전체들로 부터 나오는 결론과 상관없이 추론의 타당성을 판별할 수 있는데 이를 '타당한' 추론형식이라고 부른다.
명제론[■편집]
이 부분의 본문은 명제론입니다.
명제는 어떤 문제에 대한 하나의 논리적 판단 내용과 주장을 언어 또는 기호로 표시한 완결된 문장을 가리킨다. 참과 거짓을 판단할 수 있는 내용이라는 점이 특징이며 이를테면, ‘고래는 포유류이다.’ 따위이다.[7] 명제의 핵심성분으로는 명사가 있다.
명사[■편집]
이 부분의 본문은 명사 (논리학)입니다.
전통 논리학에서 사용해오던 '개념'이라는 용어에 대해서 현대에 와서는 기술적인 이유로 '명사'라는 용어로 전환하여 사용하고 있다. 그러나 여전히 이들 개념 혹은 명사에서 다루는 원리는 내포와 외연을 주요하게 다루고 있다는 사실은 변함없다.
논리학자[■편집]
주세페 페아노
고틀로프 프레게
버트런드 러셀
알프레드 노스 화이트헤드
루트비히 비트겐슈타인
유제프 마리아 보헨스키
쿠르트 괴델
알프레드 타르스키
윌러드 밴 오먼 콰인
현대 논리학[■편집]
진리값을 기준으로 해서 비표준논리학을 포함하는 현대 논리학들을 비교해보면 다음과 같다.

진리값	개수	논리학
참과 거짓의 2치(二値)논리학[8]	2	이치논리학, 양상논리학, 시제논리학, 의무논리학
3이상	유한	다치 논리학 , 3치논리학
논증과 반증의 2개의 진리값	2	직관논리학
무한개	무한	퍼지논리학
불특정	불확실성	양자논리학

같이 보기[■편집]

위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다.논리학

수리논리학
수리철학
다치논리학
양상 논리
프레임 (인식의 방법)
각주[■편집]
↑ (인문학강의)논리학은 무엇이고, 좋은 논증이란 뭘까. SBS CNBC. 2014년 10월 30일.
↑ 최보기. (최보기의 책보기)논리학 사용설명서. 아시아경제. 2015년 6월 9일.
↑ Die philosophischen Schrif ten von Gottfried Wlhelm Leibniz, hg. v. C.I. Gerhardt [＝GP], 7 Bde. (1875~1890) Berlin)GP VII, 3쪽 "Scientiam Generalem intelligo, quae caeterarum omninum principia continet, modumque principiis ita utendi, ut (...)".
↑ “(현대논리학적 단초들을 중심으로 한 라이프니츠 논리학의 이해,하병학)(보관된 페이지)” (PDF). 2016년 5월 17일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2019년 9월 27일에 확인함.
↑ 김홍조. '1000년에 한번 나올 천재 논리학자' 괴델의 생애. 한국경제. 2007년 12월 21일.
↑ 고명섭. 수학 불완전성 증명한 천재의 불완전했던 삶. 한겨레. 2007년 12월 21일.
↑ (우리말샘)명제
↑ 이치^논리학(二値論理學) 이치^논리학 「001」『철학』명제의 진릿값은 참이나 거짓의 두 값만을 취한다고 하는 입장에서 구성된 논리학. 전통적인 형식 논리학의 입장이며, 실제 명제의 값은 반드시 참과 거짓의 두 값에 한정되지 않는다.

[참고] (우리말샘)
[참고] 프로젝트 LOGIC INDUCTIVE AND DEDUCTIVE 1915 WILLIAM MINTO
[참고] 로직 1895 Christoph von Sigwart, 영문 Helen Bosanquet
[참고] 구텐베르크 프로젝트 - A SYSTEM OF LOGIC, JOHN STUART MILL. 1882
[참고] (KMOOC ,논리와 사고- 가톨릭관동대학교 (CCL)
[참고] KOCW-일반논리학-성균관대학교 (CCL)
[참고] KOCW-삶과논리-우석대학교
[참고] KOCW-기초논리학-계명대학교
외부 링크[■편집]
한국논리학회

접기v t e 논리학
비형식 논리학	명제 함의 논증 추론 (연역 귀납 귀추법 귀류법) 타당성 이성 비판적 사고 논리적 오류 삼단논법 모순 역설
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모달 논리
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탐색으로 이동검색으로 이동모달 논리 는 원래 개발되었으며 여전히 필요성과 가능성 에 대한 진술을 나타내는 데 널리 사용되는 형식 시스템 의 모음입니다 . 예를 들어, 모달 공식{\ displaystyle \ Box P \ rightarrow \ Diamond P}"P가 필요하다면 가능하다"로 읽을 수 있습니다. 이 공식은 인식 론적 양식 논리 에서와 같이 지식과 ​​관련하여 필요성과 가능성이 이해 될 때 널리 유효한 것으로 간주됩니다 . 그것이 법적 또는 도덕적 필요성에 대해서도 유효한지 ( 신원 론적 논리에 의해 다루어 짐 )는 Sophocles 의 연극 Antigone 이후로 논쟁의 여지가 있습니다. [1]
최초의 모달 공리 시스템 은 아리스토텔레스로 거슬러 올라가는 비공식적 전통을 바탕으로 1912 년 CI Lewis 에 의해 개발되었습니다 . 관계형 의미 모달 로직이 개발 한 이전 아서 , 자아 코 힌 티카 , 그리고 사울 크립 키 중반 20 세기. 이 의미 체계에서 수식에는 가능한 세계 에 대한 진리 값이 할당됩니다 . 하나의 가능한 세계에서 공식의 진실 값은 다른 접근 가능한 세계 에서 다른 공식의 진실 값에 따라 달라질 수 있습니다 . 특히 가능성은 일부 에서 진실에 해당 합니다 접근 가능한 가능한 세계에서 필요성은 접근 가능한 모든 가능한 세계 에서 진실에 해당 합니다 .
모달 논리는 종종 "필요성과 가능성의 논리"라고 불리며, 이러한 응용 프로그램은 언어 철학 , 인식론 , 형이상학 및 형식적 의미론 에서 계속해서 중요한 역할을 합니다. [2] 그러나, 모달 논리 수학적 장치를 포함한 다수의 다른 필드하는데 유용 게임 이론 , [1] 프로그램 검증 , [1] 웹 디자인을 , [1] 다원 계 집합론 , [3] 및 사회적 인식론 . [4]모달 논리의 모델 이론에 대한 한 저명한 교과서는 관계 구조 에 대한 지역적 관점을 취하는 형식 시스템의 연구로 더 일반적으로 볼 수 있음을 시사합니다 . [5]
내용

1의미론1.1관계형 의미론
1.2토폴로지 의미론

2공리 시스템2.1구조적 증명 이론
2.2결정 방법

삼철학의 모달 논리3.1Alethic 논리
3.2인식론
3.3시간 논리
3.4Deontic 논리
3.5Doxastic 논리

4형이상학 적 질문
5추가 응용 프로그램
6역사
7또한보십시오
8메모
9참고 문헌
10추가 읽기
11외부 링크


의미론 [ 편집 ]
관계형 의미론 [ 편집 ]
참조 : Kripke 의미론
기본 개념 [ 편집 ]
모달 논리에 대한 표준 의미를 관계형 의미 라고합니다 . 이 접근법에서 공식의 진실은 종종 가능한 세계 라고 불리는 지점을 기준으로 결정 됩니다. 모달 연산자가 포함 된 수식의 경우 진리 값은 다른 액세스 가능한 세계 에서 무엇이 참인지에 따라 달라질 수 있습니다 . 따라서 관계형 의미론 은 다음과 같이 정의 된 모델을 사용하여 모달 논리의 공식을 해석 합니다. [6]
관계형 모델은 튜플입니다{\ displaystyle {\ mathfrak {M}} = \ langle W, R, V \ rangle} 어디:
{\ displaystyle W} 가능한 세계의 집합입니다.
{\ displaystyle R} 이진 관계입니다. {\ displaystyle W}
{\ displaystyle V} 원자 공식과 세계의 각 쌍에 진리 값을 할당하는 평가 함수입니다. {\ displaystyle V : W \ times F \ to \ {0,1 \}} 어디 {\ displaystyle F} 원자 공식의 집합)
세트 {\ displaystyle W}종종 우주 라고 불립니다 . 이진 관계{\ displaystyle R}접근성 관계 라고하며 진실을 결정하기 위해 서로 "볼"수있는 세계를 제어합니다. 예를 들면{\ displaystyle wRu} 세계가 {\ displaystyle u} 세계에서 접근 가능 {\ displaystyle w}. 즉,{\ displaystyle u} 에 대한 살아있는 가능성입니다 {\ displaystyle w}. 마지막으로 함수{\ displaystyle V}밸류에이션 함수 라고 합니다 . 어떤 세계에서 어떤 원자 공식 이 참 인지 결정 합니다.
그런 다음 모델의 세계에서 공식의 진실을 재귀 적으로 정의합니다. {\ displaystyle {\ mathfrak {M}}}:
{\ displaystyle {\ mathfrak {M}}, w \ models P} iff {\ displaystyle V (w, P) = 1}
{\ displaystyle {\ mathfrak {M}}, w \ models \ neg P} iff {\ displaystyle w \ not \ models P}
{\ displaystyle {\ mathfrak {M}}, w \ models (P \ wedge Q)} iff {\ displaystyle w \ models P} 과 {\ displaystyle w \ models Q}
{\ displaystyle {\ mathfrak {M}}, w \ models \ Box P} 모든 요소에 대한 iff {\ displaystyle u} 의 {\ displaystyle W}, 만약 {\ displaystyle wRu} 그때 {\ displaystyle u \ models P}
{\ displaystyle {\ mathfrak {M}}, w \ models \ Diamond P} 일부 요소의 경우 {\ displaystyle u} 의 {\ displaystyle W}, 그것은 보유 {\ displaystyle wRu} 과 {\ displaystyle u \ models P}
이 의미론에 따르면 세계에 대한 공식이 필요 합니다.{\ displaystyle w} 접근 할 수있는 모든 세계에서 {\ displaystyle w}. 그것은이다 가능한 그것에서 액세스 할 수있는 어떤 세계를 보유하고있는 경우{\ displaystyle w}. 따라서 가능성은 접근성 관계에 따라 달라집니다{\ displaystyle R},이를 통해 가능성의 상대적인 성격을 표현할 수 있습니다. 예를 들어, 우리의 물리학 법칙이 주어지면 인간이 빛의 속도보다 더 빨리 여행하는 것은 불가능하지만 다른 상황에서는 그렇게 할 수 있다고 말할 수 있습니다. 접근성 관계를 사용하여이 시나리오를 다음과 같이 번역 할 수 있습니다. 우리 자신의 세계에 접근 할 수있는 모든 세계에서 인간이 빛의 속도보다 빠르게 이동할 수있는 것은 아니지만 이러한 접근 가능한 세계 중 하나에는 다른 세계 가 있습니다. 에서 액세스 할 수있는 그 세계하지만 인간이 빛의 속도보다 빠르게 여행 할 수있는 우리 자신의 액세스 할 수 없습니다.
프레임과 완성도 [ 편집 ]
접근성 관계의 선택만으로도 수식의 진실 또는 허위를 보장하기에 충분할 수 있습니다. 예를 들어, 모델을 고려하십시오{\ displaystyle {\ mathfrak {M}}}접근성 관계가 반사적 입니다. 관계가 반사적이기 때문에 우리는{\ displaystyle {\ mathfrak {M}}, w \ models P \ rightarrow \ Diamond P} 어떠한 것도 {\ displaystyle w \ in G}어떤 평가 기능이 사용되는지에 관계없이. 이러한 이유로 모달 논리학 자는 때때로 평가 함수를 제외한 관계형 모델의 일부인 프레임 에 대해 이야기 합니다.
관계형 프레임은 한 쌍{\ displaystyle {\ mathfrak {M}} = \ langle G, R \ rangle} 어디 {\ displaystyle G} 가능한 세계의 집합입니다. {\ displaystyle R} 이진 관계입니다. {\ displaystyle G}.
다양한 모달 로직 시스템은 프레임 조건을 사용하여 정의 됩니다 . 프레임이 호출됩니다.
재귀 경우 R w w 마다 들면 승 에 G
w R u가 u R w를 의미하는경우 대칭 , G의 모든 w 및 u 에 대해
w R u 와 u R q가 함께 G의 모든 w , u , q 에대해 w R q를 의미하는경우 전 이적 입니다.
직렬 마다 들어, 승 의 G 일부가 U 에 G 되도록 R U w .
유클리드 하다면마다 U , t 및 w , R U w 및 R의 t w 의미 U R t (대칭으로, 또한 내포 t R U )
이러한 프레임 조건에서 비롯된 논리는 다음과 같습니다.
K : = 조건 없음
D : = 직렬
T : = 반사
B : = 반사 및 대칭
S4 : = 재귀 및 전이
S5 : = 반사 및 유클리드
반사성과 함께 유클리드 속성은 대칭성과 전이성을 산출합니다. (유클리드 속성은 대칭과 전이성에서도 얻을 수 있습니다.) 따라서 접근성 관계 R 이 반사적이고 유클리드 인 경우 R 도 대칭 적이고 전 이적 입니다. 따라서 S5의 모델, R은 입니다 동치 관계가 있기 때문에, R은 재귀, 대칭 및 전이이다.
우리는 이러한 프레임이 모든 세계가 W의 다른 모든 세계를 볼 수있는 프레임과 동일한 유효한 문장 집합을 생성한다는 것을 증명할 수 있습니다 ( 즉 , R 이 "전체"관계 임). 이는 전체적으로 완료된 해당 모달 그래프 를 제공합니다 ( 즉 , 더 이상 간선 (관계)을 추가 할 수 없음). 예를 들어, 프레임 조건에 기반한 모달 로직에서 :
{\ displaystyle w \ models \ Diamond P}일부 요소의 경우의 경우 U 의 G , 그것은 그 보유{\ displaystyle u \ models P}및 w R u .전체 관계를 기반으로 프레임을 고려하면
{\ displaystyle w \ models \ Diamond P}일부 요소의 경우의 경우 U 의 G , 그것은 그 보유{\ displaystyle u \ models P}.우리는 모든 하찮게 사실 때문에 같은 총 프레임 후자의 규정에서 접근성 절을 놓을 수 w 및 U 이 R U w . 그러나 이것이 모든 S5 프레임에서 해당 될 필요는 없습니다.이 프레임은 서로 완전히 연결되어 있지만 서로 연결이 끊긴 여러 부분으로 구성 될 수 있습니다.
이러한 모든 논리 시스템은 다음 섹션에서 볼 수 있듯이 공리적으로 정의 할 수도 있습니다. 예를 들어 S5에서 공리는{\ displaystyle P \ implies \ Box \ Diamond P}, {\ displaystyle \ Box P \ implies \ Box \ Box P} 과 {\ displaystyle \ Box P \는 P를 의미}( 각각 대칭 , 전이성 및 반사성 에 해당) 유지되는 반면, 이러한 공리 중 적어도 하나는 다른 약한 논리를 각각 유지하지 않습니다.
토폴로지 의미 [ 편집 ]
모달 논리도 토폴로지 구조를 사용하여 해석되었습니다. 예를 들어 Interior Semantics 는 모달 논리의 공식을 다음과 같이 해석합니다.
위상 모델은 튜플입니다{\ displaystyle \ mathrm {X} = \ langle X, \ tau, V \ rangle} 어디 {\ displaystyle \ langle X, \ tau \ rangle}A는 위상 공간 과{\ displaystyle V} 각 원자 공식을 일부 하위 집합에 매핑하는 평가 함수입니다. {\ displaystyle X}. 기본 내부 의미 체계는 모달 논리의 공식을 다음과 같이 해석합니다.
{\ displaystyle \ mathrm {X}, x \ models P} iff {\ displaystyle x \ in V (p)}
{\ displaystyle \ mathrm {X}, x \ models \ neg \ phi} iff {\ displaystyle \ mathrm {X}, x \ not \ models \ phi}
{\ displaystyle \ mathrm {X}, x \ models \ phi \ land \ chi} iff {\ displaystyle \ mathrm {X}, x \ models \ phi} 과 {\ displaystyle \ mathrm {X}, x \ models \ chi}
{\ displaystyle \ mathrm {X}, x \ models \ Box \ phi} 일부의 경우 {\ displaystyle U \ in \ tau} 우리는 둘 다 가지고 있습니다 {\ displaystyle x \ in U} 그리고 또한 {\ displaystyle \ mathrm {X}, y \ models \ phi} 모든 {\ displaystyle y \ in U}
토폴로지 접근 방식은 관계형 접근 방식을 포함하여 비정규 모달 논리를 허용 합니다. 그들이 제공하는 추가 구조는 또한 자신의 신념에 대한 증거 또는 정당화와 같은 특정 개념을 모델링하는 투명한 방법을 허용합니다. 토폴로지 의미는 널리 공식 인식론에서 최근 연구에 사용하고 다음과 같은 초기 작업의 이력 가지고있다 데이비드 루이스 와 안젤리카 크라 처 에의 논리 counterfactuals을 .
공리 시스템 [ 편집 ]
모달 논리의 첫 번째 형식화는 공리적 이었습니다. CI Lewis 가 1912 년이 지역에서 작업을 시작한 이래로 매우 다른 속성을 가진 수많은 변형이 제안되었습니다 . 예를 들어 Hughes 와 Cresswell (1996)은 42 개의 정상 및 25 개의 비정규 모달 논리를 설명합니다. Zeman (1973)은 Hughes와 Cresswell이 생략 한 일부 시스템을 설명합니다.
모달 논리의 현대적 처리는 두 개의 단항 연산 (하나는 "필요성"을 나타내고 다른 하나는 "가능성" 을 나타냄)으로 명 제적 미적분 을 증가시키는 것으로 시작됩니다 . 그 이후로 많이 사용 된 CI Lewis 의 표기법은 괄호로 범위가 설정되는 접두사 "상자"(□ p )로 "필연적으로 p "를 나타냅니다 . 마찬가지로 접두사 "다이아몬드"(◇ p )는 " p "를 나타냅니다 . 표기법에 관계없이 이러한 각 연산자는 고전적인 모달 논리에서 다른 연산자로 정의 할 수 있습니다.
□ p (필연적으로 p )는 ¬ ◇ ¬ p ( "not- p는 불가능 ")와 동일합니다.
◇ p (아마도 p )는 ¬ □ ¬ p 와 동일합니다 ( "반드시 p는 아님 ")
따라서 □ 및 ◇는 이중 연산자 쌍 을 형성합니다 .
많은 모달 논리에서 필요성 및 가능성 연산자는 다음과 같은 부울 대수 에서 de Morgan의 법칙 과 유사합니다 .
"이다 필요는 없다 X가 있다" 논리적으로 동등한 "그것은이다에 가능한이없는 X "."이다 가능성이없는 X은 "그것은이다에 논리적으로 동일하다 " 가 필요하지 않습니다 X ".사용 가능한 모달 논리 시스템을 만들기 위해 명제 미적분 에 어떤 공리와 규칙이 추가되어야 하는가 는 철학적 의견의 문제이며, 종종 증명하고자하는 정리에 의해 구동됩니다. 또는 컴퓨터 과학에서는 어떤 종류의 계산 시스템이나 연역 시스템을 모델링 하느냐의 문제입니다. 총칭하여 일반 모달 논리 로 알려진 많은 모달 논리 에는 다음 규칙과 공리가 포함됩니다.
N , 필수 규칙 : p 가 ( N을 호출하는 시스템 의) 정리 인 경우 □ p 도 마찬가지로 정리입니다.
K , 분포 공리 : □ ( p → q ) → (□ p → □ q ).
Saul Kripke 를 기리기 위해 " K "로 명명 된 가장 약한 정상 모달 논리 는 단순히 □, 규칙 N 및 공리 K에 의해 증가 된 명 제적 미적분 입니다. K 는 명제가 필요한지 여부를 결정하지 못하고 우발적으로 만 필요한지 여부를 결정하는 데 약합니다. 즉, □ p 가 참이면 □□ p 가 참, 즉 필요한 진실이 "필연적으로 필요하다" 는 것은 K 의 정리가 아닙니다 . 그러한 혼란이 강제적이고 인위적인 것으로 간주된다면, K의 결함은좋은 사람이 아닙니다. 어쨌든 그러한 질문에 대한 다른 대답은 다른 모달 논리 시스템을 생성합니다.
K에 공리를 추가하면 다른 잘 알려진 모달 시스템이 발생합니다. K 에서 " p 가 필요하다"면 p 가 참 임을 증명할 수 없습니다 . 공리 T는 이 결함을 해결합니다.
T , Reflexivity Axiom : □ p → p ( p 가 필요한 경우 p 가 해당됩니다.)
T 는 대부분의 모달 논리를 유지하지만 전부는 아닙니다. Zeman (1973)은 S1 0 과 같은 몇 가지 예외를 설명합니다 .
다른 잘 알려진 기본 공리는 다음과 같습니다.
4 :{\ displaystyle \ Box p \에서 \ Box \ Box p}
B :{\ displaystyle p \ to \ Box \ Diamond p}
D :{\ displaystyle \ Box p \ to \ Diamond p}
5 :{\ displaystyle \ Diamond p \ to \ Box \ Diamond p}
이렇게하면 시스템이 생성됩니다 (굵게 표시된 축, 기울임 꼴 시스템).
K : = K + N
T : = K + T
S4 : = T + 4
S5 : = T + 5
D는 : = K + D를 .
K 에서 S5 는 시스템의 중첩 된 계층을 형성하여 일반 모달 논리 의 핵심을 구성합니다 . 그러나 특정 시스템에는 특정 규칙 또는 규칙 집합이 적합 할 수 있습니다. 예를 들어, deontic 논리에서{\ displaystyle \ Box p \ to \ Diamond p}(가한다고하면하면 해당 될하는 페이지 그때는 것을 허용, p는 적절한 것 같다)하지만, 우리는 아마 것을 포함 할 수 없습니다{\ displaystyle p \ to \ Box \ Diamond p}. 사실, 그렇게하면 커밋하는 자연에 호소 착오를 (즉 어떤 자연하는 경우 그 말을하여도 좋다고 상태로 p는 경우이며, p는 해야지 허용한다).
일반적으로 사용되는 시스템 S5는 단순히 모든 모달 진실을 필요로합니다. 예를 들어, p가 가능하고, 그때는 「필요」인 (P)이 있다. 또한, 만약 p가 필요하고, 그 다음 필요한 p가 필요하다. 부분적으로 는 S5 가 모든 종류의 관심 양식을 설명하지 않기 때문에 다른 모달 논리 시스템이 공식화되었습니다 .
구조적 증명 이론 [ 편집 ]
여러 모달 논리에 대해 순차적 인 계산 및 자연 추론 시스템이 개발되었지만, 일반 성과 순도와 같은 우수한 구조적 증명 이론 에서 기대되는 다른 기능을 결합하는 것은 어려운 것으로 입증되었습니다 (증명 이론은 라벨과 같은 추가 논리 개념을 도입하지 않습니다). ) 및 분석 성 (논리적 규칙은 분석적 증명 의 깨끗한 개념을 지원함 ). 일반성을 달성하기 위해 모달 논리에 더 복잡한 계산법이 적용되었습니다.
결정 방법 [ 편집 ]
분석 테이블 은 모달 로직에 가장 널리 사용되는 결정 방법을 제공합니다.
철학의 모달 논리 [ 편집 ]
Alethic 논리 [ 편집 ]
주요 기사 : 가정 법적 가능성
필요성과 가능성의 양식을 alethic 양식 이라고 합니다. 또한 라틴어 종 에서 특수 양식 이라고도 합니다. 모달 논리는 이러한 개념을 다루기 위해 처음 개발되었으며 그 후에야 다른 사람들에게 확장되었습니다. 이러한 이유로 또는 아마도 그들의 친숙 함과 단순함 때문에 필요성과 가능성은 종종 모달 논리 의 주제 로 우연히 취급됩니다 . 더욱이, 다른 개념을 상대화하는 것보다 법적, 물리적, 명 목적, 인식론 등과 같은 상대화 필요성을 이해하는 것이 더 쉽습니다.
에서 고전 모달 논리 , 명제는이라고합니다
반드시 거짓 이 아닌 경우 가능 합니다 (실제로 참인지 거짓 인지에 관계없이).
거짓 이 아닌 경우 필요 (즉, 참이고 반드시 참이어야 함)
우발 이 경우 반드시 거짓없는 과 반드시 사실이 아니다 (즉, 가능하지만 반드시 사실이 아니다);
사실 이 아닌 경우 불가능 합니다 (즉, 거짓이고 반드시 거짓).
따라서 고전적 모달 논리에서 가능성 또는 필요성의 개념은 기본으로 받아 들여질 수 있으며, 이러한 다른 개념은 De Morgan 이중성 방식으로 정의됩니다 . 직관적 모달 논리 는 가능성과 필요성을 완벽하게 대칭이 아닌 것으로 간주합니다.
예를 들어 편의점으로 걸어가는 동안 프리드리히의 집을지나 불이 꺼진 것을 관찰한다고 가정 해 보겠습니다. 돌아 오는 길에 전원이 켜져있는 것을 확인합니다.
"누군가 또는 무언가가 불을 켰다"가 필요 합니다.
"프리드리히가 불을 켰다", "프리드리히의 룸메이트 인 맥스가 불을 켰다", "아돌프라는 도둑이 프리드리히의 집에 침입하여 불을 켰다"는 우발적 이다.
위의 모든 진술이 가능합니다 .
2 천년 넘게 죽은 소크라테스 가 불을 켰다 는 것은 불가능 합니다 .
(물론,이 비유는 진정으로 엄격한 방식 으로 alethic 양식을 적용하지 않습니다 . 그렇게하기 위해서는 "인간은 죽음에서 일어날 수 없습니다", "소크라테스는 인간이 아니라 인간이었다"라는 말을 공리적으로 만들어야합니다. 불멸의 뱀파이어 ","우리는 불이 켜졌다 고 잘못 믿게 만드는 환각제를 복용하지 않았습니다 ", 광고 무한 . 진실 또는 거짓에 대한 절대적인 확실성은"불가능하다 "와 같은 논리적으로 구성된 추상적 개념의 의미에서만 존재합니다. 네 변이있는 삼각형 그리기 "및"모든 미혼 미혼 ".)
어떤 것이 가능하지만 사실이 아니라는 개념에 어려움을 겪는 사람들에게는 여러 "가능한 세계"( 라이브 니츠 의 의미에서 ) 또는 "대체 우주" 를 생각함으로써이 용어의 의미를 더 이해하기 쉽게 만들 수 있습니다 . "필요한"것은 가능한 모든 세계에서 참이고, "가능한"것은 최소한 하나의 가능한 세계에서 참입니다. 이러한 "가능한 세계 의미론"은 Kripke 의미론 으로 공식화됩니다 .
물리적 가능성 [ 편집 ]
물리 법칙에 의해 허용되는 경우 어떤 것이 물리적으로 또는 명 목적으로 가능합니다 . [ 표창장 ] 예를 들어, 현재의 이론은있을 수 있도록 생각 원자 와 원자 번호 126, [7] 존재 그러한 원자 없더라도. 반대로 빛 의 속도 이상으로 가속하는 것은 논리적으로 가능 하지만 [8] 현대 과학은 물질 입자 나 정보에 대해 물리적으로 불가능하다고 규정합니다. [9]
형이상학 적 가능성 [ 편집 ]
이 부분의 본문은 모달 형이상학입니다.
철학자 [ 누구? ] 객체가 과학 법에 의해 지시 된 것과는 독립적 인 속성을 가지고 있는지 논쟁합니다. 예를 들어, 물리주의 를 옹호하는 일부 사람들 이 생각했듯이 모든 생각하는 존재는 육체를 갖고 있고 [10] 시간 의 흐름을 경험할 수 있다는 것이 형이상학 적으로 필요할 수 있습니다 . Saul Kripke 는 모든 사람은 반드시 부모가 있어야한다고 주장했습니다. 부모가 다른 사람은 같은 사람이 아닐 것입니다. [11]
형이상학 적 가능성은 순수한 논리적 가능성보다 더 제한적이라고 생각되어 왔습니다 [12] (즉, 논리적으로 가능한 것보다 형이상학 적으로 가능한 것이 더 적습니다). 그러나 논리적 가능성 또는 물리적 가능성과의 정확한 관계 (있는 경우)는 논쟁의 문제입니다. 철학자 [ 누구? ] 또한 형이상학 적 진리가 단지 "정의에 의해"필요한지, 아니면 세상에 대한 근본적인 깊은 사실을 반영하는지, 아니면 완전히 다른 것을 반영하는지에 대해서도 동의하지 않습니다.
인식론 [ 편집 ]
주요 기사 : 인식 론적 논리
인식 론적 양식 (그리스어 인식론 , 지식) 은 문장 의 확실성 을 다룹니다. □ 연산자는 "x가 알고있다…"로 번역되고 ◇ 연산자는 "x가 알고있는 모든 사람에 대해 사실 일 수 있습니다…"로 번역됩니다. 일반적인 연설에서 형이상학 적 양식과 인식 론적 양식은 모두 유사한 단어로 표현되는 경우가 많습니다. 다음 대비가 도움이 될 수 있습니다.
사람, 존스, 합리적으로 말할 수 모두 (1) "아니, : 하지 가능성이 빅풋이 존재, 나는 그 꽤 확신한다"; 와 , (2) "물론, 그것의 가능한 Bigfoots이 존재할 수 있음". Jones가 (1)의 의미는 사용 가능한 모든 정보를 고려할 때 Bigfoot이 존재하는지 여부에 대한 질문이 남아 있지 않다는 것입니다. 이것은 인식 론적 주장입니다. (2) 그는 빅풋이 존재 하지 않더라도 존재 하는 것이 가능 하다는 형이상학 적 주장을한다.: 굵은 털을 가진 크고 깃털이없는 이족 보행 생물이 북미의 숲에 존재할 수 없었던 물리적 또는 생물학적 이유가 없습니다 (존재 여부에 관계없이). 마찬가지로는 "이 문장을 읽는 사람이 십사피트 높이 차드라는 이름의 수하는 것이 가능하다" 형이상학 적 (그런 사람이 어떻게 든 자신의 높이와 이름의 계정에 이렇게 방지 할 수없는 것),하지만 사실 alethically 않는 진실 당신은 그 묘사와 일치하고, 14 피트 높이의 인간이 결코 존재하지 않았다는 것을 알고 있다면 인식 론적으로 사실이 아닙니다.
다른 방향에서, 존스, (3) "말할 수 수 있다는 골드 바흐의 추측이 사실이다, 그러나 또한 가능 그것은 거짓이다"하고, 또한 이 경우 (4) " 이다 사실, 그것은 반드시 사실, 그리고 거짓 일 수도 있습니다. " 여기서 Jones는 그가 아는 ​​모든 것 (Goldbach의 추측은 사실 또는 거짓으로 입증되지 않음)이 사실인지 거짓인지 가 인식 론적으로 가능 하지만 , 증거 가 있다면 (지금까지 밝혀지지 않은), 그것이 사실임 을 보여줄 것임을 의미합니다. 하지 논리적으로 가능한 골드 바흐의 추측이되기 위해서는 거짓 거기 위반 숫자 정해진 될 수 없었다. 논리적 가능성은 alethic의 한 형태입니다 .가능성; (4) 수학적 진실이 거짓 일 가능성이 있는지 (즉, 논리적으로 말하면) 주장하지만, (3) 존스는 모든 사람이 알고 있기 때문에 가능한지 여부에 대해서만 주장합니다. 확실성) 수학적 주장이 구체적으로 사실이거나 거짓이라는 것이므로 Jones는 자신과 모순되지 않습니다. Jones가 반드시 옳은 것은 아니라는 점을 관찰 할 가치가 있습니다. Goldbach의 추측이 사실이고 증명할 수없는 것이 가능합니다. [13]
인식 론적 가능성은 형이상학 적 가능성이없는 방식으로 실제 세계에도 영향을 미칩니다. 형이상학 적 가능성은 세상 이 어땠을 지에 달려 있지만 인식 론적 가능성 은 세상 이 어땠을 지에 달려 있습니다 . 예를 들어 내가 떠나기 전에 우산을 가져갈 지 여부를 알고 싶다고 가정 해 보겠습니다. 당신이 " 외부에 비가 올 수있다 "고 말하면 – 인식 론적 가능성의 의미에서 – 그것은 내가 우산을 가져갈 것인지 아닌지에 달려있을 것입니다. 당신은 단지 "는 것을 말해하지만 가능 의 의미에서 - 외부의 비가" 형이상학 적 가능성 - 그때 모달 깨달음이 조금만 더 좋은 오프 오전 없습니다.
인식 론적 모달 논리의 일부 기능이 논쟁 중입니다. 예를 들어, x는 것을 알고 쪽 , 않습니다 X는 그것이 그 알고 있다는 것을 알고 P는 ? 즉, □ P → □□ P 가 이러한 시스템에서 공리 여야합니까? 이 질문에 대한 답은 불분명하지만, [14] 모든 정상적인 모달 논리에 대해 최소한으로 사실이기 때문에 일반적으로 인식 모달 논리에 포함되는 하나 이상의 공리가 있습니다 ( 공리 체계 섹션 참조 ).
K , 분포 공리 :{\ displaystyle \ Box (p \ to q) \ to (\ Box p \ to \ Box q)}.
인식 론적 양식과 alethic 양식이 서로 구별되어야하는지에 대한 의문이 제기되었습니다. 비판은 "세상의 진실"(alethic)과 "개인의 마음에있는 진실"(전염병) 사이에 실제적인 차이가 없다고 말합니다. [15] 한 조사에서 문법적 분위기 의 수단과 같이 이성적 양식과 인식 적 양식이 공식적으로 구별되는 단일 언어를 발견하지 못했습니다 . [16]
시간 논리 [ 편집 ]
주요 기사 : 시간 논리
시간 논리는 시제를 가진 표현의 의미론 , 즉 언제의 자격을 가진 표현에 대한 접근 방식 입니다. '2 + 2 = 4'와 같은 일부 표현은 항상 사실이지만 'John is happy'와 같은 긴장된 표현은 가끔 만 사실입니다.
시간 논리에서 시제 구조는 양식의 관점에서 처리됩니다. 여기서 시간 이야기를 공식화하는 표준 방법은 두 쌍의 연산자 를 사용하는 것입니다. 하나는 과거와 다른 하나는 미래에 대한 것입니다. 그 P '). 예를 들면 :
F P : 때때로 PG P : 항상 PP P : 가끔 PH P : 항상 P그런 다음 우리가 개발할 수있는 최소한 세 가지 모달 논리가 있습니다. 예를 들어 다음과 같이 규정 할 수 있습니다.
{\ displaystyle \ Diamond P}= P 는 언젠가 t 의 경우입니다.{\ displaystyle \ Box P}= P 는 모든 시간 t 의 경우입니다.또는 미래 (또는 과거) 만 처리하기 위해 이러한 연산자를 거래 할 수 있습니다. 예를 들면
{\ displaystyle \ Diamond _ {1} P}= F P{\ displaystyle \ Box _ {1} P}= G P또는,
{\ displaystyle \ Diamond _ {2} P}= P 및 / 또는 F P{\ displaystyle \ Box _ {2} P}= P 및 G P연산자 F 와 G 는 처음에는 이질적으로 보일 수 있지만 일반적인 모달 시스템 을 만듭니다 . 참고 F P가 ¬와 동일 G ¬ P . 위의 연산자를 결합하여 복잡한 문을 만들 수 있습니다. 예를 들어, P P → □ P P 는 (효과적으로), 과거이고 진실한 모든 것이 필요하다고 말합니다 .
아마도 내일 비가 올 것이고 아마도 비가 올 것이라고 말하는 것이 합리적입니다. 반면에 우리는 과거를 바꿀 수 없기 때문에 어제 비가 내렸다는 것이 사실이라면 어제 비가 오지 않았을 수도 있다는 것은 사실이 아닐 것입니다. 과거는 미래가 아닌 방식으로 "고정"되거나 필요한 것 같습니다. 이를 우발적 필요성 이라고도합니다 . 그러나 과거가 "고정"되어 있고 미래의 모든 것이 결국 과거가 될 것이라면 미래의 사건도 필요하다고 말하는 것이 타당 해 보입니다.
유사하게, 미래 우발적 인 문제는 미래 에 대한 주장의 의미를 고려합니다. '내일 바다 전투가있을 것입니다'또는 '내일 바다 전투가 없을 것'이라는 명제 중 하나가 이제 사실입니까? 이 논제를 고려하여 아리스토텔레스 는 미래에 대한 주장에 대해 이가 성의 원칙 을 거부했습니다 .
추가 이진 연산자는 시간 논리, qv Linear Temporal Logic 과도 관련이 있습니다 .
시간 논리의 버전은 컴퓨터 과학 에서 컴퓨터 작업을 모델링하고 그에 대한 정리를 증명하는 데 사용할 수 있습니다 . 한 버전에서 ◇ P 는 "미래 계산에서 컴퓨터 상태가 P가 참인 상태가 될 가능성이 있음"을 의미합니다. □ P 는 "연산 P의 모든 미래 시간이 참일 것"을 의미합니다. 다른 버전에서 ◇ P 는 "계산의 바로 다음 상태에서 P 가 참일 수 있음"을 의미합니다. □ P 는 "계산의 바로 다음 상태에서 P가 참"을 의미합니다. 접근성 관계 의 선택이 다릅니다.. (P는 항상 "P는 현재 컴퓨터 상태에서 참"임을 의미합니다.)이 두 가지 예는 비 결정적이거나 완전히 이해되지 않은 계산을 포함합니다. 다양한 유형의 프로그램 분석에 특화된 다른 모달 로직이 많이 있습니다. 각각은 자연스럽게 약간 다른 공리로 이어집니다.
Deontic 논리 [ 편집 ]
주요 기사 : Deontic 논리
마찬가지로 도덕성, 또는 일반적으로 의무 와 규범 에 대한 이야기 는 모달 구조를 가지고있는 것 같습니다. "당신은 이것을해야합니다"와 "당신은 이것을 할 수 있습니다"의 차이는 "이것이 필요합니다"와 "이것이 가능합니다"의 차이와 매우 비슷합니다. 이러한 논리는 "의무"를 의미하는 그리스어에서 deontic 이라고 합니다.
Deontic 논리는 일반적으로 Kripke 의미론 에서 접근성 관계의 반사성에 해당하는 의미 T 공리가 부족합니다 .{\ displaystyle \ Box \ phi \ to \ phi}. □를 "의무적 인 것"으로 해석하면 T 는 모든 의무가 사실이라고 비공식적으로 말합니다. 예를 들어, 다른 사람을 죽이지 않아야하는 경우 (즉, 살인은 도덕적으로 금지됨) T 는 사람들이 실제로 다른 사람을 죽이지 않는다는 것을 의미합니다. 그 결과는 분명히 거짓입니다.
대신, Kripke 의미론을 사용하여 우리는 우리 자신의 세계가 모든 의무를 실현하지는 않지만 접근 가능한 세계는이를 수행한다고 말합니다 (즉, T 는 이러한 세계를 보유합니다). 이러한 세계를 이상화 된 세계라고합니다. P는 경우 우리의 세계에 접근 할 수있는 모든 이상화 세계에서 우리 자신의 세계에 대한 의무, P는 보유하고 있습니다. 이것은 형식적 의미론의 첫 번째 해석 중 하나 였지만 최근에 비판을 받고 있습니다. [17]
Deontic 원리로 종종 (적어도 전통적으로) 받아 들여지는 또 다른 원리는 D입니다 .{\ displaystyle \ Box \ phi \ to \ Diamond \ phi}, 이는 접근성 관계의 연속성 (또는 확장 성 또는 무한 성)에 해당합니다. "해야 함을 의미한다"는 칸트 사상의 구체화입니다. (분명히 "can"은 도덕적 또는 이기적 의미와 같은 다양한 의미로 해석 될 수 있습니다.)
deontic 논리의 직관적 인 문제 [ 편집 ]
표준 모달 논리로 윤리를 공식화하려고하면 몇 가지 문제가 발생합니다. 우리가 명제 K를 가지고 있다고 가정하자 : 당신은 돈을 훔 쳤고, Q : 당신은 소량의 돈을 훔쳤다. 이제 "돈을 훔쳤다면 적은 돈이되어야한다"는 생각을 표현하고 싶다고 가정 해 보겠습니다. 두 가지 후보가 있습니다.
(1) {\ displaystyle (K \ to \ Box Q)}(2) {\ displaystyle \ Box (K \ to Q)}그러나 (1)과 K는 함께 □ Q를 수반 하는데, 그것은 당신이 적은 돈을 훔친 경우에 해당되어야한다고 말합니다. 당신은 아무것도 훔쳐서는 안되기 때문에 이것은 확실히 옳지 않습니다. 그리고 (2)도 작동하지 않습니다. "당신이 돈을 훔쳤다면 그것은 적은 금액이어야합니다"의 올바른 표현이 (2)라면, 돈을 훔쳤다면 (3)의 올바른 표현은 그러면 많은 양이되어야합니다 "는{\ displaystyle \ Box (K \ to (K \ land \ lnot Q))}. 이제 (합리적으로 보이는 것처럼) 아무것도 훔쳐서는 안된다고 가정하거나{\ displaystyle \ Box \ lnot K}. 그러나 우리는 추론 할 수 있습니다{\ displaystyle \ Box (K \ to (K \ land \ lnot Q))} 통하다 {\ displaystyle \ Box (\ lnot K) \ to \ Box (K \ to K \ land \ lnot K)} 과 {\ displaystyle \ Box (K \ land \ lnot K \ to (K \ land \ lnot Q))}합니다 ( 대우 의{\ displaystyle Q \ to K}); 그래서 문장 (3)은 우리의 가설을 따릅니다 (물론 같은 논리는 문장 (2)을 보여줍니다). 그러나 그것은 옳을 수 없으며 우리가 자연어를 사용할 때 옳지 않습니다. 누군가에게 도둑질을해서는 안된다고 말하는 것이 도둑질을한다면 많은 돈을 훔쳐 야한다는 것을 의미하지는 않습니다. [18]
Doxastic 논리 [ 편집 ]
주요 기사 : Doxastic 논리
Doxastic 논리 는 (일부 에이전트 집합의) 신념 논리와 관련이 있습니다. doxastic이라는 용어 는 "믿음"을 의미 하는 고대 그리스어 doxa 에서 파생되었습니다 . 일반적으로 독설 적 논리는 □ (종종 "B"라고 쓰임)를 사용하여 "그것이 믿어진다"를 의미하거나 특정 에이전트와 상대화 될 때 "그것에 의해 믿어진다"를 의미합니다.
형이상학 적 질문 [ 편집 ]
추가 정보 : 접근성 관계 및 가능한 세계
모달 논리의 가장 일반적인 해석에서 " 논리적으로 가능한 세계"를 고려 합니다 . 가능한 모든 세계 에서 진술이 사실이라면 그것은 필요한 진리입니다. 진술이 우리 세계에서는 사실이지만 가능한 모든 세계에서는 사실이 아니라면 우발적 진리입니다. 어떤 가능한 세계 (반드시 우리 자신의 것이 아님)에서 진실 인 진술을 가능한 진실이라고합니다.
이 "가능한 세계 관용구"하에서 빅풋의 존재는 가능하지만 실제적이지 않다고 주장하는 사람은 "빅풋이 존재할 수있는 세계가 있지만 실제 세계에서는 빅풋이 존재하지 않는다"고 말합니다. 그러나이 주장이 우리에게 무엇을 약속하는지는 불분명합니다. 우리는 실제 세계가 아니라 실제 세계만큼 현실적으로 가능한 세계의 존재를 정말로 주장하고 있습니까? Saul Kripke 는 '가능한 세계'가 잘못된 이름이라고 믿습니다. '가능한 세계'라는 용어는 가능성의 개념을 시각화하는 유용한 방법 일뿐입니다. [19]그에게 "당신은 6이 아닌 4를 굴릴 수 있었다"와 "당신이 4를 굴 렸지만 실제 세계에서 6을 굴 렸을 가능성이있는 세계가있다"라는 문장은 크게 다르지 않으며 우리에게도 저 지르지 않습니다. 가능한 세계의 존재에. [20] 데이비드 루이스는 , 다른 한편으로는, 모든 단지 가능한 세계가 우리 자신과 같은 진짜 같은 것을 주장, 총알을 물고 자신이 악명했고, 무엇으로 세상을 구별하는 것이 실제 것은 그것이 정말로 우리의 세계는 것을 단순히 - 이 세계. [21] 그 입장은 " 모달 리얼리즘 "의 주요 신조입니다.". 어떤 철학자들은 그것이 존재 론적으로 사치 스럽다고 생각하여 어떤 버전의 모달 리얼리즘도지지하는 것을 거부하고, 이러한 존재 론적 약속을 다른 방식으로 의역하는 것을 선호합니다. 로버트 아담스 는 '가능한 세계'가 '세계 이야기'로 더 잘 생각된다고 주장합니다 . 따라서 그러한 상황을 일관되게 설명 할 수 있다면 4 점을 굴 렸을 가능성이 있습니다. [22]
컴퓨터 과학자들은 일반적으로 분석되는 특정 종류의 계산에 특화된 모달 연산자에 대한 매우 구체적인 해석을 선택합니다. "모든 세계"대신 "컴퓨터의 가능한 모든 다음 상태"또는 "컴퓨터의 가능한 모든 미래 상태"를 가질 수 있습니다.
추가 응용 프로그램 [ 편집 ]
모달 논리는 문학,시, 예술 및 역사와 같은 인문학 분야에서 사용되기 시작했습니다. [23] [24]
역사 [ 편집 ]
모달 논리의 기본 아이디어는 고대로 거슬러 올라갑니다. Aristotle 은 그의 Prior Analytics (8 ~ 22 장) 의 Book I에서 모달 syllogistic을 개발했으며 , Theophrastus 는이를 개선하려고했습니다. [25] 또한 유명한으로, 아리스토텔레스의 작품이 통로하는 바다 전투 인수 에 드 Interpretatione 지금과 모달 논리의 연결 기대감으로 볼 수 있습니다 §9, 잠재력 및 시간입니다. 헬레니즘 시대에 논리 학자 Diodorus Cronus , 방언 학자 Philo 및 Stoic Chrysippus각각은 가능성과 필요성의 상호 정의 가능성을 설명하는 모달 시스템을 개발하고, 공리 T ( 아래 참조 )를 받아들 였으며 , 악명 높은 마스터 인수 를 풀기 위해 모달 논리와 시간 논리 의 결합 된 요소를 개발했습니다 . [26] 가장 초기의 형식 논리 체계는 Avicenna 에 의해 개발되었으며 , 그는 궁극적으로 " 시간 형식"삼단 론 이론을 개발했습니다 . [27] 자기 인식 주제로 모달 로직은의 글에 많은 빚을지고 스콜라 특히, 오컴의 윌리엄 과 존 둔스 스코투스, 주로 본질 과 사고 에 대한 진술을 분석하기 위해 모달 방식으로 비공식적으로 추론했습니다 .
CI Lewis 는 1912 년에 "논리의 함축과 대수"로 시작하는 일련의 학술 기사에서 현대 모달 논리를 설립했습니다. [28] [29] 루이스 모달 로직, 구체적 발명하도록 이끌었다 엄격한 의미 고전 논리 부여한다는 이유로, 물질의 의미 모순 되도록 원칙 거짓 어떤 제안을 의미한다 . 이 작업은 그의 1932 년 저서 Symbolic Logic ( CH Langford 와 함께 ), [31] 에서 절정을 이루었습니다 . 이 책 은 S1 부터 S5 까지 5 개의 시스템을 도입했습니다 .
루이스 이후, 모달 논리는 수십 년 동안 거의 관심을받지 못했습니다. Nicholas Rescher 는 이것이 Bertrand Russell 이 그것을 거부 했기 때문이라고 주장 했습니다. [32] 그러나, 월 Dejnozka은 "을 제안 혼란에서 온 러셀에 양상의 개념을 생각 했더라도 Dejnozka는"MDL "을 호출하는 모달 시스템, 러셀의 작품에서 설명한다는이보기에 대해 주장했다 명제 함수 로" 그는 The Analysis of Matter에 썼습니다 . [33]
Arthur Norman Prior 는 Ruth Barcan Marcus 에게 모달 논리 에 대한 편견으로 인해 Willard Van Orman Quine 과의 정량화 된 모달 논리에 관한 토론에서 잘 준비 하라고 경고했습니다 . [34]
Ruth C. Barcan (나중에 Ruth Barcan Marcus )은 정량화 된 모달 논리의 첫 번째 공리 시스템 (루이스의 S2 , S4 및 S5의 1 차 및 2 차 확장)을 개발했습니다 . [35] [36] [37]
모달 의미론의 현대 시대는 1959 년 Saul Kripke (당시 18 세의 하버드 대학 학부생) 가 모달 논리에 대한 현재 표준 Kripke 의미 체계 를 도입 했을 때 시작되었습니다 . 이들은 일반적으로 "가능한 세계"의미론이라고합니다. Kripke와 AN Prior 는 이전에 일정 기간 동안 통신했습니다. Kripke 시맨틱은 기본적으로 간단하지만 EW Beth가 설명하는 것처럼 semantic-tableaux 또는 analytic tableaux를 사용하여 증명을 완화 합니다.
AN Prior 는 1957 년에 "결국"과 "이전"을 의미하는 모달 연산자 [F]와 [P]를 추가하여 모달 논리 와 밀접하게 관련된 현대 시간 논리를 만들었습니다 . Vaughan Pratt 는 1976 년에 동적 논리 를 도입 했습니다. 1977 년에 Amir Pnueli 는 지속적으로 작동하는 동시 프로그램의 동작을 공식화하기 위해 시간 논리를 사용하는 것을 제안했습니다. 시간 논리의 특징으로는 제안 동적 논리 (PDL), 제안 선형 시간 논리 (PLTL), 선형 시간 논리 (LTL), 계산 트리 논리 (CTL), 헤네시-밀너 논리 및 T가 있습니다. [설명 필요 ]
모달 논리의 수학적 구조, 즉 단항 연산 (종종 모달 대수 라고 함)으로 증강 된 부울 대수 는 S2 와 S4 가 결정 가능 하다는 JCC McKinsey 의 1941 년 증명 과 함께 등장하기 시작했으며 [38] Alfred 의 작업에서 꽃 이 만발 했습니다. Tarski 와 그의 학생 Bjarni Jónsson (Jónsson and Tarski 1951–52). 이 작업은 S4 와 S5 가 원래 내부 및 내부 의 속성을 포착하도록 설계된 부울 대수의 적절한 확장 인 내부 대수의 모델 임을 밝혀 냈습니다.폐쇄 사업자 의 토폴로지 . 모달 논리에 대한 텍스트는 일반적으로 부울 대수 및 토폴로지 연구와의 연관성을 언급하는 것 이상 입니다. 형식적 모달 논리와 관련 수학의 역사에 대한 철저한 조사는 Robert Goldblatt (2006)을 참조하십시오 . [39]
참조 [ 편집 ]
철학 포털
심리학 포털

접근성 관계
개념적 필요성
대응 이론
데이비드 켈로그 루이스
De dicto and de re
설명 논리
Doxastic 논리
동적 논리
엔티 밈
하이브리드 로직
내부 대수
해석 가능성 논리
Kripke 의미론
형이상학 적 필요성
조동사
다중 모드 논리
다중 값 논리
확률 논리
일반 모달 논리
관련성 논리
수사학
엄격한 조건부
2 차원주의

메모 [ 편집 ]
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참고 문헌 [ 편집 ]
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추가 읽기 [ 편집 ]
Ruth Barcan Marcus, Modalities , Oxford University Press, 1993 년.
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Andrea Borghini, A Critical Introduction to the Metaphysics of Modality , New York : Bloomsbury, 2016.
외부 링크 [ 편집 ]
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John McCarthy , 1996, " 모달 로직. "
모달 로직 실험을위한 자바 증명 자 Molle
Suber, Peter, 2002, " 모달 논리의 서지. "
논리 시스템 목록 John Halleck의 소스가있는 많은 모달 논리 목록.
Modal Logic의 발전. 모달 논리의 2 년에 한 번 국제 회의 및 책 시리즈.
S4prover S4 로직을위한 tableaux 증명 자
" 로직 및 토폴로지에 대한 몇 가지 설명 "– Richard Moot; exposits 위상 의미 모달 논리 S4를 들어.
LoTREC IRIT / Toulouse University의 모달 논리에 대한 가장 일반적인 증명 자


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Modal logic
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Jump to navigationJump to searchModal logic is a collection of formal systems originally developed and still widely used to represent statements about necessity and possibility. For instance, the modal formula {\displaystyle \Box P\rightarrow \Diamond P} can be read as "if P is necessary, then it is also possible". This formula is widely regarded as valid when necessity and possibility are understood with respect to knowledge, as in epistemic modal logic. Whether it is also valid with legal or moral necessity (dealt with by deontic logic) is a question debated since Sophocles's play Antigone.[1]
The first modal axiomatic systems were developed by C. I. Lewis in 1912, building on an informal tradition stretching back to Aristotle. The relational semantics for modal logic was developed by Arthur Prior, Jaakko Hintikka, and Saul Kripke in the mid twentieth century. In this semantics, formulas are assigned truth values relative to a possible world. A formula's truth value at one possible world can depend on the truth values of other formulas at other accessible possible worlds. In particular, possibility amounts to truth at some accessible possible world while necessity amounts to truth at every accessible possible world.
Modal logic is often referred to as "the logic of necessity and possibility", and such applications continue to play a major role in philosophy of language, epistemology, metaphysics, and formal semantics.[2] However, the mathematical apparatus of modal logic has proved useful in numerous other fields including game theory,[1] program verification,[1] web design,[1] multiverse-based set theory,[3] and social epistemology.[4] One prominent textbook on the model theory of modal logic suggests that it can be seen more generally as the study of formal systems which take a local perspective on relational structures.[5]
Contents

1Semantics1.1Relational semantics
1.2Topological semantics

2Axiomatic systems2.1Structural proof theory
2.2Decision methods

3Modal logics in philosophy3.1Alethic logic
3.2Epistemic logic
3.3Temporal logic
3.4Deontic logic
3.5Doxastic logic

4Metaphysical questions
5Further applications
6History
7See also
8Notes
9References
10Further reading
11External links


Semantics[■Edit]
Relational semantics[■Edit]
See also: Kripke semantics
Basic notions[■Edit]
The standard semantics for modal logic is called the relational semantics. In this approach, the truth of a formula is determined relative to a point which is often called a possible world. For a formula that contains a modal operator, its truth value can depend on what is true at other accessible worlds. Thus, the relational semantics interprets formulas of modal logic using models defined as follows.[6]
A relational model is a tuple {\displaystyle {\mathfrak {M}}=\langle W,R,V\rangle } where:
{\displaystyle W} is a set of possible worlds
{\displaystyle R} is a binary relation on {\displaystyle W}
{\displaystyle V} is a valuation function which assigns a truth value to each pair of an atomic formula and a world, (i.e. {\displaystyle V:W\times F\to \{0,1\}} where {\displaystyle F} is the set of atomic formulae)
The set {\displaystyle W} is often called the universe. The binary relation {\displaystyle R} is called an accessibility relation, and it controls which worlds can "see" each other for the sake of determining what is true. For example, {\displaystyle wRu} means that the world {\displaystyle u} is accessible from world {\displaystyle w}. That is to say, the state of affairs known as {\displaystyle u} is a live possibility for {\displaystyle w}. Finally, the function {\displaystyle V} is known as a valuation function. It determines which atomic formulas are true at which worlds.
Then we recursively define the truth of a formula at a world in a model {\displaystyle {\mathfrak {M}}}:
{\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models P} iff {\displaystyle V(w,P)=1}
{\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models \neg P} iff {\displaystyle w\not \models P}
{\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models (P\wedge Q)} iff {\displaystyle w\models P} and {\displaystyle w\models Q}
{\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models \Box P} iff for every element {\displaystyle u} of {\displaystyle W}, if {\displaystyle wRu} then {\displaystyle u\models P}
{\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models \Diamond P} iff for some element {\displaystyle u} of {\displaystyle W}, it holds that {\displaystyle wRu} and {\displaystyle u\models P}
According to this semantics, a formula is necessary with respect to a world {\displaystyle w} if it holds at every world that is accessible from {\displaystyle w}. It is possible if it holds at some world that is accessible from {\displaystyle w}. Possibility thereby depends upon the accessibility relation {\displaystyle R}, which allows us to express the relative nature of possibility. For example, we might say that given our laws of physics it is not possible for humans to travel faster than the speed of light, but that given other circumstances it could have been possible to do so. Using the accessibility relation we can translate this scenario as follows: At all of the worlds accessible to our own world, it is not the case that humans can travel faster than the speed of light, but at one of these accessible worlds there is another world accessible from those worlds but not accessible from our own at which humans can travel faster than the speed of light.
Frames and completeness[■Edit]
The choice of accessibility relation alone can sometimes be sufficient to guarantee the truth or falsity of a formula. For instance, consider a model {\displaystyle {\mathfrak {M}}} whose accessibility relation is reflexive. Because the relation is reflexive, we will have that {\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models P\rightarrow \Diamond P} for any {\displaystyle w\in G} regardless of which valuation function is used. For this reason, modal logicians sometimes talk about frames, which are the portion of a relational model excluding the valuation function.
A relational frame is a pair {\displaystyle {\mathfrak {M}}=\langle G,R\rangle } where {\displaystyle G} is a set of possible worlds, {\displaystyle R} is a binary relation on {\displaystyle G}.
The different systems of modal logic are defined using frame conditions. A frame is called:
reflexive if w R w, for every w in G
symmetric if w R u implies u R w, for all w and u in G
transitive if w R u and u R q together imply w R q, for all w, u, q in G.
serial if, for every w in G there is some u in G such that w R u.
Euclidean if, for every u, t, and w, w R u and w R t implies u R t (by symmetry, it also implies t R u)
The logics that stem from these frame conditions are:
K := no conditions
D := serial
T := reflexive
B := reflexive and symmetric
S4 := reflexive and transitive
S5 := reflexive and Euclidean
The Euclidean property along with reflexivity yields symmetry and transitivity. (The Euclidean property can be obtained, as well, from symmetry and transitivity.) Hence if the accessibility relation R is reflexive and Euclidean, R is provably symmetric and transitive as well. Hence for models of S5, R is an equivalence relation, because R is reflexive, symmetric and transitive.
We can prove that these frames produce the same set of valid sentences as do the frames where all worlds can see all other worlds of W (i.e., where R is a "total" relation). This gives the corresponding modal graph which is total complete (i.e., no more edges (relations) can be added). For example, in any modal logic based on frame conditions:
{\displaystyle w\models \Diamond P} if and only if for some element u of G, it holds that {\displaystyle u\models P} and w R u.If we consider frames based on the total relation we can just say that
{\displaystyle w\models \Diamond P} if and only if for some element u of G, it holds that {\displaystyle u\models P}.We can drop the accessibility clause from the latter stipulation because in such total frames it is trivially true of all w and u that w R u. But note that this does not have to be the case in all S5 frames, which can still consist of multiple parts that are fully connected among themselves but still disconnected from each other.
All of these logical systems can also be defined axiomatically, as is shown in the next section. For example, in S5, the axioms {\displaystyle P\implies \Box \Diamond P}, {\displaystyle \Box P\implies \Box \Box P} and {\displaystyle \Box P\implies P} (corresponding to symmetry, transitivity and reflexivity, respectively) hold, whereas at least one of these axioms does not hold in each of the other, weaker logics.
Topological semantics[■Edit]
Modal logic has also been interpreted using topological structures. For instance, the Interior Semantics interprets formulas of modal logic as follows.
A topological model is a tuple {\displaystyle \mathrm {X} =\langle X,\tau ,V\rangle } where {\displaystyle \langle X,\tau \rangle } is a topological space and {\displaystyle V} is a valuation function which maps each atomic formula to some subset of {\displaystyle X}. The basic interior semantics interprets formulas of modal logic as follows:
{\displaystyle \mathrm {X} ,x\models P} iff {\displaystyle x\in V(p)}
{\displaystyle \mathrm {X} ,x\models \neg \phi } iff {\displaystyle \mathrm {X} ,x\not \models \phi }
{\displaystyle \mathrm {X} ,x\models \phi \land \chi } iff {\displaystyle \mathrm {X} ,x\models \phi } and {\displaystyle \mathrm {X} ,x\models \chi }
{\displaystyle \mathrm {X} ,x\models \Box \phi } iff for some {\displaystyle U\in \tau } we have both that {\displaystyle x\in U} and also that {\displaystyle \mathrm {X} ,y\models \phi } for all {\displaystyle y\in U}
Topological approaches subsume relational ones, allowing non-normal modal logics. The extra structure they provide also allows a transparent way of modeling certain concepts such as the evidence or justification one has for one's beliefs. Topological semantics is widely used in recent work in formal epistemology and has antecedents in earlier work such as David Lewis and Angelika Kratzer's logics for counterfactuals.
Axiomatic systems[■Edit]
The first formalizations of modal logic were axiomatic. Numerous variations with very different properties have been proposed since C. I. Lewis began working in the area in 1912. Hughes and Cresswell (1996), for example, describe 42 normal and 25 non-normal modal logics. Zeman (1973) describes some systems Hughes and Cresswell omit.
Modern treatments of modal logic begin by augmenting the propositional calculus with two unary operations, one denoting "necessity" and the other "possibility". The notation of C. I. Lewis, much employed since, denotes "necessarily p" by a prefixed "box" (□p) whose scope is established by parentheses. Likewise, a prefixed "diamond" (◇p) denotes "possibly p". Regardless of notation, each of these operators is definable in terms of the other in classical modal logic:
□p (necessarily p) is equivalent to ¬◇¬p ("not possible that not-p")
◇p (possibly p) is equivalent to ¬□¬p ("not necessarily not-p")
Hence □ and ◇ form a dual pair of operators.
In many modal logics, the necessity and possibility operators satisfy the following analogues of de Morgan's laws from Boolean algebra:
"It is not necessary that X" is logically equivalent to "It is possible that not X"."It is not possible that X" is logically equivalent to "It is necessary that not X".Precisely what axioms and rules must be added to the propositional calculus to create a usable system of modal logic is a matter of philosophical opinion, often driven by the theorems one wishes to prove; or, in computer science, it is a matter of what sort of computational or deductive system one wishes to model. Many modal logics, known collectively as normal modal logics, include the following rule and axiom:
N, Necessitation Rule: If p is a theorem (of any system invoking N), then □p is likewise a theorem.
K, Distribution Axiom: □(p → q) → (□p → □q).
The weakest normal modal logic, named "K" in honor of Saul Kripke, is simply the propositional calculus augmented by □, the rule N, and the axiom K. K is weak in that it fails to determine whether a proposition can be necessary but only contingently necessary. That is, it is not a theorem of K that if □p is true then □□p is true, i.e., that necessary truths are "necessarily necessary". If such perplexities are deemed forced and artificial, this defect of K is not a great one. In any case, different answers to such questions yield different systems of modal logic.
Adding axioms to K gives rise to other well-known modal systems. One cannot prove in K that if "p is necessary" then p is true. The axiom T remedies this defect:
T, Reflexivity Axiom: □p → p (If p is necessary, then p is the case.)
T holds in most but not all modal logics. Zeman (1973) describes a few exceptions, such as S10.
Other well-known elementary axioms are:
4: {\displaystyle \Box p\to \Box \Box p}
B: {\displaystyle p\to \Box \Diamond p}
D: {\displaystyle \Box p\to \Diamond p}
5: {\displaystyle \Diamond p\to \Box \Diamond p}
These yield the systems (axioms in bold, systems in italics):
K := K + N
T := K + T
S4 := T + 4
S5 := T + 5
D := K + D.
K through S5 form a nested hierarchy of systems, making up the core of normal modal logic. But specific rules or sets of rules may be appropriate for specific systems. For example, in deontic logic, {\displaystyle \Box p\to \Diamond p} (If it ought to be that p, then it is permitted that p) seems appropriate, but we should probably not include that {\displaystyle p\to \Box \Diamond p}. In fact, to do so is to commit the appeal to nature fallacy (i.e. to state that what is natural is also good, by saying that if p is the case, p ought to be permitted).
The commonly employed system S5 simply makes all modal truths necessary. For example, if p is possible, then it is "necessary" that p is possible. Also, if p is necessary, then it is necessary that p is necessary. Other systems of modal logic have been formulated, in part because S5 does not describe every kind of modality of interest.
Structural proof theory[■Edit]
Sequent calculi and systems of natural deduction have been developed for several modal logics, but it has proven hard to combine generality with other features expected of good structural proof theories, such as purity (the proof theory does not introduce extra-logical notions such as labels) and analyticity (the logical rules support a clean notion of analytic proof). More complex calculi have been applied to modal logic to achieve generality.
Decision methods[■Edit]
Analytic tableaux provide the most popular decision method for modal logics.
Modal logics in philosophy[■Edit]
Alethic logic[■Edit]
Main article: Subjunctive possibility
Modalities of necessity and possibility are called alethic modalities. They are also sometimes called special modalities, from the Latin species. Modal logic was first developed to deal with these concepts, and only afterward was extended to others. For this reason, or perhaps for their familiarity and simplicity, necessity and possibility are often casually treated as the subject matter of modal logic. Moreover, it is easier to make sense of relativizing necessity, e.g. to legal, physical, nomological, epistemic, and so on, than it is to make sense of relativizing other notions.
In classical modal logic, a proposition is said to be
possible if it is not necessarily false (regardless of whether it is actually true or actually false);
necessary if it is not possibly false (i.e. true and necessarily true);
contingent if it is not necessarily false and not necessarily true (i.e. possible but not necessarily true);
impossible if it is not possibly true (i.e. false and necessarily false).
In classical modal logic, therefore, the notion of either possibility or necessity may be taken to be basic, where these other notions are defined in terms of it in the manner of De Morgan duality. Intuitionistic modal logic treats possibility and necessity as not perfectly symmetric.
For example, suppose that while walking to the convenience store we pass Friedrich's house, and observe that the lights are off. On the way back, we observe that they have been turned on.
"Somebody or something turned the lights on" is necessary.
"Friedrich turned the lights on", "Friedrich's roommate Max turned the lights on" and "A burglar named Adolf broke into Friedrich's house and turned the lights on" are contingent.
All of the above statements are possible.
It is impossible that Socrates (who has been dead for over two thousand years) turned the lights on.
(Of course, this analogy does not apply alethic modality in a truly rigorous fashion; for it to do so, it would have to axiomatically make such statements as "human beings cannot rise from the dead", "Socrates was a human being and not an immortal vampire", and "we did not take hallucinogenic drugs which caused us to falsely believe the lights were on", ad infinitum. Absolute certainty of truth or falsehood exists only in the sense of logically constructed abstract concepts such as "it is impossible to draw a triangle with four sides" and "all bachelors are unmarried".)
For those with difficulty with the concept of something being possible but not true, the meaning of these terms may be made more comprehensible by thinking of multiple "possible worlds" (in the sense of Leibniz) or "alternate universes"; something "necessary" is true in all possible worlds, something "possible" is true in at least one possible world. These "possible world semantics" are formalized with Kripke semantics.
Physical possibility[■Edit]
Something is physically, or nomically, possible if it is permitted by the laws of physics.[citation needed] For example, current theory is thought to allow for there to be an atom with an atomic number of 126,[7] even if there are no such atoms in existence. In contrast, while it is logically possible to accelerate beyond the speed of light,[8] modern science stipulates that it is not physically possible for material particles or information.[9]
Metaphysical possibility[■Edit]
Main article: Modal metaphysics
Philosophers[who?] debate if objects have properties independent of those dictated by scientific laws. For example, it might be metaphysically necessary, as some who advocate physicalism have thought, that all thinking beings have bodies[10] and can experience the passage of time. Saul Kripke has argued that every person necessarily has the parents they do have: anyone with different parents would not be the same person.[11]
Metaphysical possibility has been thought to be more restricting than bare logical possibility[12] (i.e., fewer things are metaphysically possible than are logically possible). However, its exact relation (if any) to logical possibility or to physical possibility is a matter of dispute. Philosophers[who?] also disagree over whether metaphysical truths are necessary merely "by definition", or whether they reflect some underlying deep facts about the world, or something else entirely.
Epistemic logic[■Edit]
Main article: Epistemic logic
Epistemic modalities (from the Greek episteme, knowledge), deal with the certainty of sentences. The □ operator is translated as "x knows that…", and the ◇ operator is translated as "For all x knows, it may be true that…" In ordinary speech both metaphysical and epistemic modalities are often expressed in similar words; the following contrasts may help:
A person, Jones, might reasonably say both: (1) "No, it is not possible that Bigfoot exists; I am quite certain of that"; and, (2) "Sure, it's possible that Bigfoots could exist". What Jones means by (1) is that, given all the available information, there is no question remaining as to whether Bigfoot exists. This is an epistemic claim. By (2) he makes the metaphysical claim that it is possible for Bigfoot to exist, even though he does not: there is no physical or biological reason that large, featherless, bipedal creatures with thick hair could not exist in the forests of North America (regardless of whether or not they do). Similarly, "it is possible for the person reading this sentence to be fourteen feet tall and named Chad" is metaphysically true (such a person would not somehow be prevented from doing so on account of their height and name), but not alethically true unless you match that description, and not epistemically true if it's known that fourteen-foot-tall human beings have never existed.
From the other direction, Jones might say, (3) "It is possible that Goldbach's conjecture is true; but also possible that it is false", and also (4) "if it is true, then it is necessarily true, and not possibly false". Here Jones means that it is epistemically possible that it is true or false, for all he knows (Goldbach's conjecture has not been proven either true or false), but if there is a proof (heretofore undiscovered), then it would show that it is not logically possible for Goldbach's conjecture to be false—there could be no set of numbers that violated it. Logical possibility is a form of alethic possibility; (4) makes a claim about whether it is possible (i.e., logically speaking) that a mathematical truth to have been false, but (3) only makes a claim about whether it is possible, for all Jones knows, (i.e., speaking of certitude) that the mathematical claim is specifically either true or false, and so again Jones does not contradict himself. It is worthwhile to observe that Jones is not necessarily correct: It is possible (epistemically) that Goldbach's conjecture is both true and unprovable.[13]
Epistemic possibilities also bear on the actual world in a way that metaphysical possibilities do not. Metaphysical possibilities bear on ways the world might have been, but epistemic possibilities bear on the way the world may be (for all we know). Suppose, for example, that I want to know whether or not to take an umbrella before I leave. If you tell me "it is possible that it is raining outside" – in the sense of epistemic possibility – then that would weigh on whether or not I take the umbrella. But if you just tell me that "it is possible for it to rain outside" – in the sense of metaphysical possibility – then I am no better off for this bit of modal enlightenment.
Some features of epistemic modal logic are in debate. For example, if x knows that p, does x know that it knows that p? That is to say, should □P → □□P be an axiom in these systems? While the answer to this question is unclear,[14] there is at least one axiom that is generally included in epistemic modal logic, because it is minimally true of all normal modal logics (see the section on axiomatic systems):
K, Distribution Axiom: {\displaystyle \Box (p\to q)\to (\Box p\to \Box q)}.
It has been questioned whether the epistemic and alethic modalities should be considered distinct from each other. The criticism states that there is no real difference between "the truth in the world" (alethic) and "the truth in an individual's mind" (epistemic).[15] An investigation has not found a single language in which alethic and epistemic modalities are formally distinguished, as by the means of a grammatical mood.[16]
Temporal logic[■Edit]
Main article: Temporal logic
Temporal logic is an approach to the semantics of expressions with tense, that is, expressions with qualifications of when. Some expressions, such as '2 + 2 = 4', are true at all times, while tensed expressions such as 'John is happy' are only true sometimes.
In temporal logic, tense constructions are treated in terms of modalities, where a standard method for formalizing talk of time is to use two pairs of operators, one for the past and one for the future (P will just mean 'it is presently the case that P'). For example:
FP : It will sometimes be the case that PGP : It will always be the case that PPP : It was sometime the case that PHP : It has always been the case that PThere are then at least three modal logics that we can develop. For example, we can stipulate that,
{\displaystyle \Diamond P} = P is the case at some time t{\displaystyle \Box P} = P is the case at every time tOr we can trade these operators to deal only with the future (or past). For example,
{\displaystyle \Diamond _{1}P} = FP{\displaystyle \Box _{1}P} = GPor,
{\displaystyle \Diamond _{2}P} = P and/or FP{\displaystyle \Box _{2}P} = P and GPThe operators F and G may seem initially foreign, but they create normal modal systems. Note that FP is the same as ¬G¬P. We can combine the above operators to form complex statements. For example, PP → □PP says (effectively), Everything that is past and true is necessary.
It seems reasonable to say that possibly it will rain tomorrow, and possibly it won't; on the other hand, since we can't change the past, if it is true that it rained yesterday, it probably isn't true that it may not have rained yesterday. It seems the past is "fixed", or necessary, in a way the future is not. This is sometimes referred to as accidental necessity. But if the past is "fixed", and everything that is in the future will eventually be in the past, then it seems plausible to say that future events are necessary too.
Similarly, the problem of future contingents considers the semantics of assertions about the future: is either of the propositions 'There will be a sea battle tomorrow', or 'There will not be a sea battle tomorrow' now true? Considering this thesis led Aristotle to reject the principle of bivalence for assertions concerning the future.
Additional binary operators are also relevant to temporal logics, q.v. Linear Temporal Logic.
Versions of temporal logic can be used in computer science to model computer operations and prove theorems about them. In one version, ◇P means "at a future time in the computation it is possible that the computer state will be such that P is true"; □P means "at all future times in the computation P will be true". In another version, ◇P means "at the immediate next state of the computation, P might be true"; □P means "at the immediate next state of the computation, P will be true". These differ in the choice of Accessibility relation. (P always means "P is true at the current computer state".) These two examples involve nondeterministic or not-fully-understood computations; there are many other modal logics specialized to different types of program analysis. Each one naturally leads to slightly different axioms.
Deontic logic[■Edit]
Main article: Deontic logic
Likewise talk of morality, or of obligation and norms generally, seems to have a modal structure. The difference between "You must do this" and "You may do this" looks a lot like the difference between "This is necessary" and "This is possible". Such logics are called deontic, from the Greek for "duty".
Deontic logics commonly lack the axiom T semantically corresponding to the reflexivity of the accessibility relation in Kripke semantics: in symbols, {\displaystyle \Box \phi \to \phi }. Interpreting □ as "it is obligatory that", T informally says that every obligation is true. For example, if it is obligatory not to kill others (i.e. killing is morally forbidden), then T implies that people actually do not kill others. The consequent is obviously false.
Instead, using Kripke semantics, we say that though our own world does not realize all obligations, the worlds accessible to it do (i.e., T holds at these worlds). These worlds are called idealized worlds. P is obligatory with respect to our own world if at all idealized worlds accessible to our world, P holds. Though this was one of the first interpretations of the formal semantics, it has recently come under criticism.[17]
One other principle that is often (at least traditionally) accepted as a deontic principle is D, {\displaystyle \Box \phi \to \Diamond \phi }, which corresponds to the seriality (or extendability or unboundedness) of the accessibility relation. It is an embodiment of the Kantian idea that "ought implies can". (Clearly the "can" can be interpreted in various senses, e.g. in a moral or alethic sense.)
Intuitive problems with deontic logic[■Edit]
When we try to formalize ethics with standard modal logic, we run into some problems. Suppose that we have a proposition K: you have stolen some money, and another, Q: you have stolen a small amount of money. Now suppose we want to express the thought that "if you have stolen some money, it ought to be a small amount of money". There are two likely candidates,
(1) {\displaystyle (K\to \Box Q)}(2) {\displaystyle \Box (K\to Q)}But (1) and K together entail □Q, which says that it ought to be the case that you have stolen a small amount of money. This surely isn't right, because you ought not to have stolen anything at all. And (2) doesn't work either: If the right representation of "if you have stolen some money it ought to be a small amount" is (2), then the right representation of (3) "if you have stolen some money then it ought to be a large amount" is {\displaystyle \Box (K\to (K\land \lnot Q))}. Now suppose (as seems reasonable) that you ought not to steal anything, or {\displaystyle \Box \lnot K}. But then we can deduce {\displaystyle \Box (K\to (K\land \lnot Q))} via {\displaystyle \Box (\lnot K)\to \Box (K\to K\land \lnot K)} and {\displaystyle \Box (K\land \lnot K\to (K\land \lnot Q))} (the contrapositive of {\displaystyle Q\to K}); so sentence (3) follows from our hypothesis (of course the same logic shows sentence (2)). But that can't be right, and is not right when we use natural language. Telling someone they should not steal certainly does not imply that they should steal large amounts of money if they do engage in theft.[18]
Doxastic logic[■Edit]
Main article: Doxastic logic
Doxastic logic concerns the logic of belief (of some set of agents). The term doxastic is derived from the ancient Greek doxa which means "belief". Typically, a doxastic logic uses □, often written "B", to mean "It is believed that", or when relativized to a particular agent s, "It is believed by s that".
Metaphysical questions[■Edit]
Further information: Accessibility relation and Possible worlds
In the most common interpretation of modal logic, one considers "logically possible worlds". If a statement is true in all possible worlds, then it is a necessary truth. If a statement happens to be true in our world, but is not true in all possible worlds, then it is a contingent truth. A statement that is true in some possible world (not necessarily our own) is called a possible truth.
Under this "possible worlds idiom," to maintain that Bigfoot's existence is possible but not actual, one says, "There is some possible world in which Bigfoot exists; but in the actual world, Bigfoot does not exist". However, it is unclear what this claim commits us to. Are we really alleging the existence of possible worlds, every bit as real as our actual world, just not actual? Saul Kripke believes that 'possible world' is something of a misnomer – that the term 'possible world' is just a useful way of visualizing the concept of possibility.[19] For him, the sentences "you could have rolled a 4 instead of a 6" and "there is a possible world where you rolled a 4, but you rolled a 6 in the actual world" are not significantly different statements, and neither commit us to the existence of a possible world.[20] David Lewis, on the other hand, made himself notorious by biting the bullet, asserting that all merely possible worlds are as real as our own, and that what distinguishes our world as actual is simply that it is indeed our world – this world.[21] That position is a major tenet of "modal realism". Some philosophers decline to endorse any version of modal realism, considering it ontologically extravagant, and prefer to seek various ways to paraphrase away these ontological commitments. Robert Adams holds that 'possible worlds' are better thought of as 'world-stories', or consistent sets of propositions. Thus, it is possible that you rolled a 4 if such a state of affairs can be described coherently.[22]
Computer scientists will generally pick a highly specific interpretation of the modal operators specialized to the particular sort of computation being analysed. In place of "all worlds", you may have "all possible next states of the computer", or "all possible future states of the computer".
Further applications[■Edit]
Modal logics have begun to be used in areas of the humanities such as literature, poetry, art and history.[23][24]
History[■Edit]
The basic ideas of modal logic date back to antiquity. Aristotle developed a modal syllogistic in Book I of his Prior Analytics (chs 8–22), which Theophrastus attempted to improve.[25] There are also passages in Aristotle's work, such as the famous sea-battle argument in De Interpretatione §9, that are now seen as anticipations of the connection of modal logic with potentiality and time. In the Hellenistic period, the logicians Diodorus Cronus, Philo the Dialectician and the Stoic Chrysippus each developed a modal system that accounted for the interdefinability of possibility and necessity, accepted axiom T (see below), and combined elements of modal logic and temporal logic in attempts to solve the notorious Master Argument.[26] The earliest formal system of modal logic was developed by Avicenna, who ultimately developed a theory of "temporally modal" syllogistic.[27] Modal logic as a self-aware subject owes much to the writings of the Scholastics, in particular William of Ockham and John Duns Scotus, who reasoned informally in a modal manner, mainly to analyze statements about essence and accident.
C. I. Lewis founded modern modal logic in a series of scholarly articles beginning in 1912 with "Implication and the Algebra of Logic".[28][29] Lewis was led to invent modal logic, and specifically strict implication, on the grounds that classical logic grants paradoxes of material implication such as the principle that a falsehood implies any proposition.[30] This work culminated in his 1932 book Symbolic Logic (with C. H. Langford),[31] which introduced the five systems S1 through S5.
After Lewis, modal logic received little attention for several decades. Nicholas Rescher has argued that this was because Bertrand Russell rejected it.[32] However, Jan Dejnozka has argued against this view, stating that a modal system which Dejnozka calls "MDL" is described in Russell's works, although Russell did believe the concept of modality to "come from confusing propositions with propositional functions," as he wrote in The Analysis of Matter.[33]
Arthur Norman Prior warned Ruth Barcan Marcus to prepare well in the debates concerning quantified modal logic with Willard Van Orman Quine, due to the biases against modal logic.[34]
Ruth C. Barcan (later Ruth Barcan Marcus) developed the first axiomatic systems of quantified modal logic — first and second order extensions of Lewis' S2, S4, and S5.[35][36][37]
The contemporary era in modal semantics began in 1959, when Saul Kripke (then only a 18-year-old Harvard University undergraduate) introduced the now-standard Kripke semantics for modal logics. These are commonly referred to as "possible worlds" semantics. Kripke and A. N. Prior had previously corresponded at some length. Kripke semantics is basically simple, but proofs are eased using semantic-tableaux or analytic tableaux, as explained by E. W. Beth.
A. N. Prior created modern temporal logic, closely related to modal logic, in 1957 by adding modal operators [F] and [P] meaning "eventually" and "previously". Vaughan Pratt introduced dynamic logic in 1976. In 1977, Amir Pnueli proposed using temporal logic to formalise the behaviour of continually operating concurrent programs. Flavors of temporal logic include propositional dynamic logic (PDL), propositional linear temporal logic (PLTL), linear temporal logic (LTL), computation tree logic (CTL), Hennessy–Milner logic, and T.[clarification needed]
The mathematical structure of modal logic, namely Boolean algebras augmented with unary operations (often called modal algebras), began to emerge with J. C. C. McKinsey's 1941 proof that S2 and S4 are decidable,[38] and reached full flower in the work of Alfred Tarski and his student Bjarni Jónsson (Jónsson and Tarski 1951–52). This work revealed that S4 and S5 are models of interior algebra, a proper extension of Boolean algebra originally designed to capture the properties of the interior and closure operators of topology. Texts on modal logic typically do little more than mention its connections with the study of Boolean algebras and topology. For a thorough survey of the history of formal modal logic and of the associated mathematics, see Robert Goldblatt (2006).[39]
See also[■Edit]
Philosophy portal
Psychology portal

Accessibility relation
Conceptual necessity
Counterpart theory
David Kellogg Lewis
De dicto and de re
Description logic
Doxastic logic
Dynamic logic
Enthymeme
Hybrid logic
Interior algebra
Interpretability logic
Kripke semantics
Metaphysical necessity
Modal verb
Multimodal logic
Multi-valued logic
Provability logic
Regular modal logic
Relevance logic
Rhetoric
Strict conditional
Two-dimensionalism

Notes[■Edit]
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References[■Edit]
This article includes material from the Free On-line Dictionary of Computing, used with permission under the GFDL.
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Further reading[■Edit]
Ruth Barcan Marcus, Modalities, Oxford University Press, 1993.
D. M. Gabbay, A. Kurucz, F. Wolter and M. Zakharyaschev, Many-Dimensional Modal Logics: Theory and Applications, Elsevier, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, volume 148, 2003, ISBN 0-444-50826-0. [Covers many varieties of modal logics, e.g. temporal, epistemic, dynamic, description, spatial from a unified perspective with emphasis on computer science aspects, e.g. decidability and complexity.]
Andrea Borghini, A Critical Introduction to the Metaphysics of Modality, New York: Bloomsbury, 2016.
External links[■Edit]
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"Rudolf Carnap's Modal Logic" – by MJ Cresswell.

Stanford Encyclopedia of Philosophy:"Modal Logic" – by James Garson.
"Modern Origins of Modal Logic" – by Roberta Ballarin.
"Provability Logic" – by Rineke Verbrugge.

Edward N. Zalta, 1995, "Basic Concepts in Modal Logic."
John McCarthy, 1996, "Modal Logic."
Molle a Java prover for experimenting with modal logics
Suber, Peter, 2002, "Bibliography of Modal Logic."
List of Logic Systems List of many modal logics with sources, by John Halleck.
Advances in Modal Logic. Biannual international conference and book series in modal logic.
S4prover A tableaux prover for S4 logic
"Some Remarks on Logic and Topology" – by Richard Moot; exposits a topological semantics for the modal logic S4.
LoTREC The most generic prover for modal logics from IRIT/Toulouse University


Categories: Logic
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Mathematical logic
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